En un PDF que estoy leyendo dicen:$$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\ln|re^{i\theta}-a|d\theta=\max(\ln r,\ln|a|). $ $ Es ciertamente un cálculo simple pero no puedo ver por qué. ¿Hay alguien que pueda explicarme? Gracias.
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Alya
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2106
Lo que usted está buscando se llama Jensen la fórmula que da el caso cuando se $|a|\neq r$:
Supongamos que $f$ es una analítica de la función en una región en el plano complejo que contiene el disco cerrado $D$ radio $r$ sobre el origen, $a_1$, $a_2$, ..., una son los ceros de $f$ en el interior de $D$ repetirse de acuerdo a la multiplicidad, y $f(0) \neq 0$. Jensen la fórmula de los estados que $$ \log |f(0)| = \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{|a_k|}{r}\right) + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\theta})| \, d\theta. $$ Esta fórmula establece una conexión entre los módulos de los ceros de la función $f$ dentro del disco de $D$ y el promedio de $\log |f(z)|$, en el límite del círculo de $|z| = r$, y puede ser visto como una generalización de la media del valor de la propiedad de la armónica de funciones. Es decir, si $f$ no tiene ceros en $D$, luego de Jensen fórmula se reduce a $$ \log |f(0)| = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\theta})| \, d\theta, $$ cual es la media del valor de la propiedad de los armónicos de la función $ \log |f(z)|$.
Al $|a|=r$, no es una singularidad para el integrando y creo que este caso no se utiliza en los enlaces de papel.
pisco125
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516
Tenga en cuenta el siguiente resultado:
Si$|b|\leq 1$, entonces$$\int_0^{2\pi} \ln|1-be^{i\theta}| d\theta = 0$ $
Para$|b|< 1$, esto se puede probar fácilmente usando la expansión taylor de$\ln(1-x)$ porque$\int_0^{2\pi} e^{in\theta} d\theta = 0$ para cada entero positivo$n$. Para$|b| = 1$, esto se sigue de un argumento de continuidad (porque la integral converge).
Esta fórmula implica inmediatamente su resultado usando$\ln|xy| = \ln|x|+\ln|y|$.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$
$\ds{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r\expo{\ic\theta} -}}\,\dd\theta = \max\llaves{\ln\pars{r},\ln\pars{\verts{un}}}:\ {\large ?}. \qquad \in \mathbb{C}.}$
Permite a $\ds{r = \verts{r}\expo{\ic\phi_{\large r}}}$ y $\ds{a = \verts{a}\expo{\ic\phi_{\large a}}}$ donde $\ds{\phi_{r}, \phi_{a} \in \left[0,2\pi\right)}$. Tenga en cuenta que \begin{align} &\bbox[15px,#ffe]{\ds{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r\expo{\ic\theta} - a}}\,\dd\theta}} = {1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{\verts{r}\expo{\ic\pars{\phi_{\large r} + \theta}} - \verts{a}\expo{\ic\phi}}}\,\dd\theta \\[5mm] & = {1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{\verts{r} \expo{\ic\pars{\theta + \phi_{\large r}- \phi_{\large a}}} - \verts{a}}}\,\dd\theta = {1 \over 2\pi}\,\Re\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r}\expo{\ic\pars{\theta + \phi_{\large r}- \phi_{\large a}}} - \verts{a}}\,\dd\theta \\[5mm] = &\ {1 \over 2\pi}\,\Re\oint_{\verts{z}\ =\ \verts{r}}\ln\pars{z - \verts{a}} \,{\dd z \over \ic z} = {1 \over 2\pi}\,\Im\oint_{\verts{z}\ =\ \verts{r}} {\ln\pars{z - \verts{a}} \over z}\,\dd z \end{align} Voy a tener en la rama de corte $$ \ln\pars{z \verts{a}} = \ln\pars{\verts{\vphantom{\Large}z - \verts{un}}} + \mrm{arg}\pars{z \verts{a}}\ic.\qquad -\pi < \mrm{arg}\pars{z \verts{un}} < \pi\,,\quad z \= \verts{un} $$
$\ds{\Large\verts{a} < \verts{r}:\ {\large ?}.\quad}$ $\ds{\large Note\ that\ r \not= 0}$. \begin{align} &{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r\expo{\ic\theta} - a}}\,\dd\theta \\[5mm] & \stackrel{\mrm{as}\ \epsilon\ \to\ 0^{+}}{\sim} {1 \over 2\pi}\,\Im\left[% -\int_{-\verts{r}}^{\verts{a}} {\ln\pars{\verts{a} - x} + \ic\pi\over x + \ic\epsilon}\,\dd x - \int_{\pi}^{-\pi}{\ln\pars{\epsilon} + \ic\theta \over \verts{a}} \,\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta\right. \\[2mm] &\ \left.\phantom{\stackrel{\mrm{as}\ \epsilon\ \to\ 0^{+}}{\sim} {1 \over 2\pi}\,\Im\left[\,\right.} -\int_{\verts{a}}^{-\verts{r}}{\ln\pars{\verts{a} - x} - \ic\pi \over x - \ic\epsilon}\,\dd x\right] \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ \epsilon\ \to\ 0^{+}}{\large \to}\,\,\, & {1 \over 2\pi}\,\Im\left[% -\,\mrm{P.V.}\int_{-\verts{r}}^{\verts{a}} {\ln\pars{\verts{a} - x} + \ic\pi \over x}\,\dd x + \ic\pi\bracks{-\verts{r} < 0 < \verts{a}}\bracks{\ln\pars{\verts{a}} + \ic\pi}\right. + \\[2mm] & \phantom{{1 \over 2\pi}\left[-\,\,\,\right.} \left.\mrm{P.V.}\int_{-\verts{r}}^{\verts{a}} {\ln\pars{\verts{a} - x} - \ic\pi \over x}\,\dd x + \ic\pi\bracks{-\verts{r} < 0 < \verts{a}}\bracks{\ln\pars{\verts{a}} - \ic\pi} \right] \\[5mm] = &\ -\,\mrm{P.V.}\int_{-\verts{r}}^{\verts{a}}{\dd x \over x} + \bracks{a \not= 0}\ln\pars{\verts{a}} \\[5mm] = &\ -\ \underbrace{\mrm{P.V.}\int_{-\verts{r}}^{\verts{r}}{\dd x \over x}} _{\ds{=\ 0}}\ -\ \int_{\verts{r}}^{\verts{a}}{\dd x \over x} + \bracks{ar \not= 0}\ln\pars{\verts{a}} \\[5mm] & = -\bracks{a \not = 0}\ln\pars{\verts{a} \over \verts{r}} + \bracks{a \not = 0}\ln\pars{\verts{a}} = \bracks{a \not= 0}\ln\pars{\verts{r}} \end{align}
$\ds{\Large\verts{a} > \verts{r}:\ {\large ?}.\quad}$ $\ds{\large Note\ that\ a \not= 0}$. \begin{align} &{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r\expo{\ic\theta} - a}}\,\dd\theta = \bracks{r \not= 0}{1 \over 2\pi}\,\Im\bracks{2\pi\ic\ln\pars{-a}} = \bracks{r \not= 0}\ln\pars{\verts{a}} \end{align}
A continuación, $$ \bbox[#ffe,15px,border:1px dotted de la marina]{\ds{{1 \over 2\pi}\int_{0}^{2\pi} \ln\pars{\verts{r\expo{\ic\theta} -}}\,\dd\theta = \max\llaves{\ln\pars{r},\ln\pars{\verts{un}}}\,,\qquad ar \no= 0}} $$
