¿Cuál es la diferencia entre producto directo externo e interno? Creo que ambos se reducen a lo mismo.
Si H,K como normal y tiene la intersección trivial, podemos decir que cualquier elemento de H se conmuta con cualquier elemento de K ?
Respuestas
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Markus Lausberg
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Son dos formas diferentes de ver la misma cosa, pero las definiciones son básicamente equivalentes.
Cada producto interno directo G es naturalmente isomorfo al producto directo externo (de sus factores directos).
y
Todo producto directo externo se realiza naturalmente como un producto directo interno.
La mayor distinción que he visto es que si A,B⊂G y A×B≅G decimos que G es el producto directo interno de A y B . Sin embargo, si A,B no son subgrupos de G (más bien, son isomorfos a factores directos de G ), diríamos G≅A×B es un producto directo externo.
Nerdy
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Dejemos que G sea un grupo con elemento de identidad e . Dejemos que H y K sean subgrupos normales de G tal que H∩K={e} . Entonces H×K≃H⊕K donde H×K es el producto directo interno entre H y K y H⊕K es el producto directo externo entre H y K . Cuando H y K tienen una intersección no trivial, esto puede no ser así.
Abdo
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Me esfuerzo por olvidar que la distinción existe porque creo que es innecesaria.
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Me convencí así: en un producto directo externo, la multiplicación/operación funciona así por la construcción mientras que en el interior se tiene un preexistente operación que permite recuperar el objeto original a partir de algunos subobjetos/factores, más bien una descomposición o factorización (frente a una expansión), si se quiere. Aparte de la connotación, son realmente lo mismo; K=G\crossH (donde G,H se dan) hace que el producto parezca externo, pero cualquier ecuación puede, por supuesto, leerse de derecha a izquierda, y G\crossH=K (donde se comienza con K ) parece interno.
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