¿En qué sentido garantiza la analiticidad la siguiente igualdad?

Question

Estaba leyendo un artículo $^1$ sobre física de partículas, y en algún momento se afirma que, siempre que $f(x)$ es analítica, tenemos $$f(x)-f(0)=\frac{x}{\pi}\int_0^\infty \frac{\text{Im}\;f(y)}{y(y-x-i\varepsilon)} \;\mathrm dy\tag{1}$$ donde el $i\varepsilon$ se supone que debe tomarse $\varepsilon\to 0^+$ después de integrar.

Esto se parece mucho a (lo que los físicos) llamamos el Relaciones Kramers-Kronig aunque creo que en matemáticas se llama el Teorema de Sokhotski-Plemelj : $$\int_a^b\frac{f(x)}{x-i\varepsilon}\mathrm dx=i\pi f(0)+\mathcal P\!\int_a^b\frac{f(x)}{x}\mathrm dx \tag{2}$$ donde $\mathcal P$ significa valor principal de Cauchy.

Mis preguntas es la relación $(1)$ ¿es cierto en general? ¿en qué circunstancias? ¿es posible demostrar $(1)$ de $(2)$ ? o es $(2)$ ¿irrelevante aquí?

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$^1$ El Muon g-2 , por F. Jegerlehner y A. Nyffelerpage, arXiv:0902.3360v1 página 39.

Answer 1

Creo que yo mismo he podido demostrarlo:

Escriba las relaciones de Kramers-Kronig como $$\text{Re}\; g(x)=\frac{1}{\pi}\mathcal P\int \frac{\text{Im}\;g(y)}{y-x} \mathrm dy$$

Utilizando el teorema de Sokhotski-Plemelj, a saber $$\mathcal P\int \frac{\text{Im}\;g(y)}{y-x} \mathrm dy=\int \frac{\text{Im}\;g(y)}{y-x-i\varepsilon} \mathrm dy-i\pi\ \text{Im}\; g(x)$$ encontramos $$g(x)=\frac{1}{\pi}\int \frac{\text{Im}\;g(y)}{y-x-i\varepsilon} \mathrm dy$$

Por último, tomando $g(x)\equiv (f(x)-f(0))/x$ obtenemos la expresión de la OP. La respuesta a la pregunta " en qué supuestos " es: debemos tener $\text{Im}\;f(0)=0$ .