¿Existe un nombre para esta cantidad que es similar al foco de una parábola?

Question

Supongamos que tenemos la parábola $y=ax^2+bx+c$ que se centra en $(-\frac b{2a},\frac 1{4a}-\frac {b^2}{4a}+c)$ . Hay una línea $\ell$ en $y=\frac{a^2-b^2}{4a}+c$ que tiene la siguiente propiedad: dos líneas cualesquiera $m,n$ que pasen por pares consecutivos de puntos igualmente espaciados se cruzarán $\ell$ una distancia constante entre sí, que sólo depende de la separación de los puntos elegidos para determinar $m,n$ .

Más concretamente, si $m$ pasa por los puntos de nuestra parábola en $x_0,x_1$ y $n$ pasa por los puntos de la parábola en $x_1, x_2$ y $x_1-x_0=x_2-x_1=q$ para alguna constante $q$ entonces existe una constante $r$ de tal manera que, independientemente de cómo $x_0$ se elige (con $x_1 = x_0+q,x_2 = x_0+2q$ ), tenemos que la intersección en $\ell,m$ es la distancia $r$ de la intersección en $\ell, n$ .

Las matemáticas se complican un poco, pero la sorpresa para mí fue que este número ${a^2-b^2\over 4a}+c$ sólo se diferenciaba de la "altura" del foco de la parábola por $\frac a4-\frac 1{4a}$ .

¿Es esta cantidad ${a^2-b^2\over 4a}+c$ ¿una parte bien conocida de la teoría cónica? ¿Tiene un nombre? ¿Tiene algún uso o propiedades más generales con otras secciones cónicas?

Nota al margen: al principio casi creía que esta cantidad era la misma que el valor de la "altura" del foco ya que empecé viendo parábolas con $a=1$ ...

Answer 1

Creo que sé de qué estás hablando. Pero no es una línea definida de forma única. Con los parámetros adecuados podría ser en realidad cualquier línea que cruza la parábola dada y no paralela al eje.

Pensemos en las tangentes a la parábola, que llamaré P. Seleccionamos una tangente cualquiera T. Suponiendo que el eje x se toma como paralelo a la directriz de P, cualquier otra tangente trazada desde puntos de P con coordenadas x igualmente espaciadas intersecará a T en puntos equidistantes. Las coordenadas x de los puntos de intersección tendrán la mitad de espacio que las coordenadas x de los puntos de tangencia. Esto se aplica a cualquier tangente que podamos elegir para T; ¡pruébalo!

Ahora supongamos que dibujamos secantes a P de la manera descrita por el OP. Estas serán tangentes a una segunda parábola Q, cuyos puntos propios estarán en el mismo lado de P que el foco. La recta de intersección equidistante es entonces una tangente cualquiera de Q. Además, la situación de Q dependerá del espaciado que elijamos para las coordenadas x en P.