Estoy tratando de comparar la integral de línea indicado en Verde del Teorema con la definición de una integral de línea. De acuerdo a Wikipedia: $$ \oint_C(L dx+Mdy)=\int^b_af(\textbf{r}(t))|\textbf{r}'(t)|dt. $$ Mi intuición me dice que $\textbf{r}(t)=(x(t),y(t))$. Deje $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Por lo tanto, $|\textbf{r}'(t)|dt=ds$, ¿verdad? Así que si $C$ es una simple curva cerrada, es el siguiente expresión equivalente a la expresión de la integral de línea en Verde del Teorema? $$ \oint_C(L+M)ds $$ Mi pregunta realmente es: ¿cuáles son $f$ e $\textbf{r}$ en la declaración de Verde del teorema? Yo sólo era capaz de recrear la declaración, por definición, dejando $L$ e $M$ ser independiente de $y$ e $x$ respectivamente, como se ve a continuación: $$ \oint_CL(x(t))|\frac{dx}{dt}|dt+M(y(t))|\frac{dy}{dt}|dt. $$ El problema que me encuentro aquí es que $\partial L/\partial y$ e $\partial M/\partial x$ luego son ambas 0.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tienes razón acerca de lo $\mathbf{r}$ es, pero no acerca de la estructura de la integral de la misma.
La función que vamos a integrar en la integral de línea del lado de los Verdes del teorema es un producto escalar: $$\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$$ donde $\mathbf{F}(x,y)=(L(x,y),M(x,y))$. Por la teoría estándar, esto no depende exactamente de la manera que parametrizar la curva.
Esa es la de una dimensión integral. No dicen nada acerca de la dos-dimensión integral en el otro lado de la integral, así que voy a asumir que usted entienda que en parte.
Parece que estás intentando representar un 1-form $\omega=L\left(\mathbf{r}\right) dx + M\left(\mathbf{r}\right) dy$ con una sola función escalar $f=f\left(\mathbf{r}\right)$ . Es probable que esto no funcione por la misma razón por la que no puede representar un vector 2D (función) con una función escalar; simplemente tiene más grados de libertad en el primero.
