Aquí es una prueba de Keith Condrad del documento con cosets en lugar de las clases:
Teorema 2. Si $G$ es un grupo finito y $N \triangleleft G$ entonces cualquier elemento de $G$ con el fin de relativamente primer a $[G:N]$ se encuentra en $N$. En en particular, si $N$ tiene índice $2$ , a continuación, todos los elementos de a$ G$ con impar el fin de la mentira en $N$.
Prueba: Supongamos $g$ ser un elemento de $G$ con el fin de $m$, que es relativamente primer a $[G:N]$. La ecuación de $g^m=e$da $(gN)^m=N \in G/N$. También se $(gN)^{[G:N]}=N$, $[G:N]$ es el orden de $G/N$.
De modo que el orden de $gN \in G/N$ divide $m$ e $[G:N]$.
Estos números son primos relativos, por lo $gN=N$, lo que significa que $g \in N$.
¿Por qué es necesario que $G$ es finito? ¿El teorema también es válida para los grupos en general? Yo sospechaba, porque de $[G:N]$, pero hemos establecido para ser coprime a $m$, $[G:N]=\infty$ permitido?
