La definición del límite de una función de variable:
$\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=L\,$ si y sólo si para todos los $\epsilon>0$ existe un $\delta >0$ tal que $$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\epsilon$$
Considere la siguiente proposición (me doy cuenta de que no es cierto):
Deje $f^*(r,\theta) := f(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)$. Entonces $$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L \iff \lim\limits_{r\to0^+} f^*(r,\theta) = L$$
Prueba.
Supongamos que $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L$. Esto significa que para todos los $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\epsilon$$ Si dejamos $x=a+r\cos\theta$, $y=b+r\sin\theta$, entonces tenemos que $$0<\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r<\delta \implies |f^*(r,\theta)-L|<\epsilon$$ Por lo tanto, por definición, $\lim\limits_{r\to0^+}f^*(r,\theta) = L$.
Ahora supongamos que $\lim\limits_{r\to0^+}f^*(r,\theta) = L$. Esto significa que para todos los $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tales que $$0<r<\delta \implies |f^*(r,\theta)-L|<\epsilon$$ De nuevo, dejando $x=a+r\cos\theta$, $y=b+r\sin\theta$, obtenemos $$0<r=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\epsilon$$ De nuevo, por definición, $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L$. Q. E. D.
Soy consciente de que la prueba puede ser realizada directamente por demostrar la equivalencia, pero no me quiero arriesgar por lo que es menos claro de que manera.
El problema
La proposición es incorrecta, o eso me inclino a creer. Considere la siguiente función:
$$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$
y el siguiente límite:
$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$$
La función es tomado de, y mi pregunta depende en gran medida, este post.
El cambio a coordenadas polares, y después de algunos arreglos, el límite de $f(x,y)$ como $(x,y) \to (0,0)$ es
$$\lim_{r \to 0^+} \frac{r (\cos^2\theta\sin\theta)}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$ Algunas respuestas a esa pregunta, decir que tienes que tener cuidado con ese límite. Mi entendimiento es que esto se refiere a "la sustitución de $r$ con 0". Sé que este es el enfoque equivocado. Pero, me da que este límite es siempre 0, independientemente de $\theta$. Y no me pareció muy difícil llegar a esta conclusión.
Que se descomponen en dos casos.
En primer lugar, supongo que $\sin\theta\neq0$. El numerador tiende a 0 y el denominador tiende a $\sin^2\theta$. Por lo tanto, el límite es sólo $0/\sin^2\theta$, es decir, cero.
El segundo caso es $\sin\theta = 0$. Pero, ahora la bajo-límite de la función es idéntica a cero para todos los $r\neq0$, produciendo un límite es cero.
Esto demuestra que el límite es cero. He hecho algo mal?
Una respuesta de la mencionada post dice que, cuando se busca este límite, usted tiene que analizar el caso en que $\theta$ es una función de $r$. Por qué?
Con el límite es cero, independientemente de $\theta$, mi propuesta implicaría que el límite de $f(x,y)$ es 0. Sin embargo, sé que este no es el caso, porque si dejo $y=x^2$, el "límite" se evalúa a $\frac{1}{2}$. Siempre me han dicho que por un límite de existir, debe ser la misma para cada ruta que enfoque el punto límite. Siempre he tomado por sentado, y que hizo intuitiva sentido para mí. Pero ahora, a pensar más profundamente acerca de eso, realmente no sé por qué es. Esto también tiene que ver con el hecho de que este viene de ningún lugar en la prueba de mi proposición.
Mis pensamientos
Mi prueba se basa en (o eso creo) el hecho de que cada punto de $(x,y) \in \mathbb R$ es representable en forma polar como el par $(r,\theta)$ y de que esta representación es única si nos restringimos $\theta \in [0, 2\pi)$. Es esto correcto?
Tan lejos como puedo ver $r$ e $\theta$ pueden ser variables independientes. No puedo averiguar por qué uno tendría que permitir la $\theta$ a ser una función de la $r$.
Yo también confiar en el hecho de que $\sqrt{(x-a)^2+(x-b)^2}$ e $r$ siempre son iguales. Me estoy perdiendo algo?
Voy a resumir mis preguntas:
¿Cómo funciona la definición del límite implica que todas las rutas de aproximación de producir el mismo resultado? Estoy en busca de una explicación intuitiva.
Lo que está mal con mi proposición y la prueba? ¿Cómo el hecho de que la falla de la función $f(x,y)$ y el camino de $(x,x^2)$, se refieren a la prueba de mi proposición. En otras palabras, se puede determinar exactamente donde la prueba falla?
De dónde viene la idea de dejar a $\theta = \theta(r)$ (o incluso $r=r(\theta)$?) ? Supongo que esto está estrechamente relacionada a la pregunta 1.
Cuando puede/debería usar coordenadas polares para demostrar que el límite existe?
Gracias por su paciencia.
