Máximo móvil condicional del movimiento browniano geométrico (máximo del puente browniano)

Question

Me gustaría que me ayudaran a probar una fórmula que he encontrado en la página 774 de estas diapositivas sobre la fijación de precios de las opciones de barrera: https://www.csie.ntu.edu.tw/~lyuu/finance1/2015/20150520.pdf

Supongamos que el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico, es decir $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$ pour $t \in [0,T]$ y $W_t$ es un movimiento browniano (sembrado en 0) bajo la medida $\mathbb{P}$ . Sea $H$ sea una barrera que satisfaga $H > S(0)$ y $H > S(T)$ .

Entonces la fórmula que estoy tratando de probar es : $$\mathbb{P} \Big[ \max_{t \in [0,T]} S(t) < H \ | \ S(0) = S_0, S(T) = S_T \Big] = 1 - \exp \Big(-\frac{2\ln(H/S_0)\ln(H/S_T)}{\sigma^2 T} \Big).$$

Utilizando la solución de la SDE, a saber $S(t) = S_0 \exp((\mu - \sigma^2/2)t + \sigma W_t)$ podemos reescribir esta probabilidad como

$$\mathbb{P} \Big[ \max_{t \in [0,T]} W_t + \theta t < b \ | \ W_0 = 0, W_T + \theta T = a \Big] $$ $$ = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{1}_{ \{\max_{t \in [0,T]} W_t + \theta t < b \}} | \ W_0 = 0, W_T + \theta T = a \Big],$$

donde $\theta := \mu/\sigma -\sigma/2$ , $b:= \ln(H/S_0)/\sigma$ y $a:= \ln(S_T/S_0)/\sigma$ . Tengo entendido que bajo la medida $\mathbb{P}$ , $W_t$ es un movimiento browniano, pero $W_t + \theta t$ no lo es. Así que lo que yo habría hecho es aplicar el teorema de Girsanov. Estableciendo $\tilde{W}_t := W_t + \theta t$ entonces sabemos que $\tilde{W}_t$ es un movimiento browniano (también sembrado en 0) bajo $\tilde{\mathbb{P}}$ , satisfaciendo $$\frac{d\tilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}} = \exp(-\theta W_T -\theta^2 T /2) = \exp(-\theta \tilde{W}_T + \theta^2 T /2).$$ Entonces nuestro cálculo es igual a

$$\mathbb{E}^{\mathbb{\tilde{P}}} \Big[ \frac{d\mathbb{P}}{d\tilde{\mathbb{P}}} \mathbb{1}_{ \{\max_{t \in [0,T]} \tilde{W}_t < b \}} | \ \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a \Big]$$

$$=\exp(\theta a - \theta^2 T /2) \mathbb{E}^{\mathbb{\tilde{P}}} \Big[ \mathbb{1}_{ \{\max_{t \in [0,T]} \tilde{W}_t < b \}} | \ \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a \Big]$$ $$=\exp(\theta a - \theta^2 T /2) \mathbb{\tilde{P}} \Big[ \max_{t \in [0,T]} \tilde{W_t} < b \ | \ \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a \Big].$$

Esta última probabilidad es "bien conocida" como la probabilidad del máximo móvil de un puente browniano. Una derivación en línea se da en : https://eventuallyalmosteverywhere.wordpress.com/tag/brownian-bridge/

Esta probabilidad es igual a
$$\mathbb{\tilde{P}} \Big[ \max_{t \in [0,T]} \tilde{W_t} < b \ | \ \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a \Big] = 1 - \exp \Big( \frac{a^2 - (2b-a)^2}{2T} \Big).$$

Introduciendo los valores de $a$ y $b$ encontramos que $$\mathbb{\tilde{P}} \Big[ \max_{t \in [0,T]} \tilde{W_t} < b \ | \ \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a \Big] = 1 - \exp \Big(-\frac{2\ln(H/S_0)\ln(H/S_T)}{\sigma^2 T} \Big) \ !!$$

Pero se supone que esta es la respuesta final a mi problema, por lo que parece que el factor $\exp(\theta a - \theta^2 T /2)$ no debe estar allí.... Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No ha realizado el cambio de medida correctamente. Usted parece creer que

$$\beta \tilde{\mathbb{P}} = \mathbb{P} \implies \mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(\beta X \mid A) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}(X \mid A) \tag{1}$$

pero esto es en realidad un error; si elegimos, por ejemplo, $X:=1$ entonces el lado derecho de $(1)$ es igual a $1$ pero el lado izquierdo no lo hace - esto muestra que hay algo fuera de lugar. La fórmula correcta es

$$\beta \tilde{\mathbb{P}} = \mathbb{P} \implies \frac{\mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(\beta X \mid A)}{\mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(\beta \mid A)} = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}(X \mid A). \tag{2}$$

Utilizando $(2)$ con $$\beta := \exp(\theta \tilde{W}_T - \theta^2 T/2)$$ obtenemos

$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( 1_{\{\max_{t \leq T} (W_t+\theta t) < b\}} \mid W_0 = 0, W_T+\theta T = a \right) = \frac{\mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(\beta 1_{\{\sup_{t \leq T} \tilde{W}_t<b\}} \mid \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a)}{\mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(\beta \mid \tilde{W}_0=0, \tilde{W}_T = a)},$$

y así, por la definición de $\beta$ ,

$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left( 1_{\{\max_{t \leq T} (W_t+\theta t) < b\}} \mid W_0 = 0, W_T+\theta T = a \right) = \mathbb{E}_{\tilde{\mathbb{P}}}(1_{\{\sup_{t \leq T} \tilde{W}_t<b\}} \mid \tilde{W}_0 = 0, \tilde{W}_T = a).$$

Ahora puedes continuar con tus cálculos y obtendrás el resultado correcto.