El más simple de Hahn-Banach extensión del teorema en el espacio de Hilbert $X$ evita el uso del axioma de elección por la virtud de la representación de Riesz teorema. Pero, ¿qué acerca de la versión del teorema de donde el buscado lineal funcional es obligado a permanecer por debajo de un sub-lineales convexas o función? También, en qué medida se puede separar 2 distintos conjuntos convexos por un hyperplane sin Zorn? Podemos afirmar que cualquier hyperplane $H\subset X$ tiene un traducir que es tangente a un determinado delimitada cerrado convexo subconjunto $C\subset X$?
Respuesta
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daw
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Deje $C$ ser convexo, cerrado, no-vacío. A continuación, $x_0\not\in C$ pueden ser separados por $C$ por un cerrado hyperplane, es decir, no es $f\in X^*$ tales que $$ f(u ) < f(x_0) \quad \forall u\in C.$$
La prueba: los usos que $\inf_{u\in C} \|x_0 - u\|$ tiene una única solución a $u^*$. A continuación, tomar hyperplance perpendicular a $x_0-u^*$.
Deje $C_1,C_2$ ser distinto, establece que es convexo, cerrado, no-vacío, $C_1$ compacto. A continuación, $C_1,C_2$ puede ser separados por por un cerrado hyperplane, es decir, no es $f\in X^*$ tales que $$ \sup_{x\in C_1}f(x) < \inf_{y\in C_2}f(y).$$
Prueba: Definir $C:=C_1-C_2$, que está cerrado debido a la compacidad de $C_1$. Tome $\tilde x\in C$. A continuación, $-\tilde x\not\in C$ como $0\not\in C$. Ahora $C$ e $\tilde x$ pueden ser separados, lo que produce una separación de $C_1$ e $C_2$.
En este hilo https://mathoverflow.net/questions/37551/a-counter-example-to-hahn-banach-separation-theorem-of-convex-sets/37564 es un contraejemplo que muestra la no-separación de dos convexo pone en $L^2(\mu)$ (ambos conjuntos no son ni compacto ni abrir).
Yo no soy consciente de que una prueba de la extensión de los funcionales lineales a continuación sublinear funcionales. Esto también implica la no trivial de la divisibilidad de un conjunto convexo $C$ desde un punto de $x_0\not\in C$.
