En una secuencia$f_k$ en$L^{2+\frac{1}{k}}$

Question

Supongamos que $f_k\in L^{2+\frac{1}{k}}(\Omega)$ con la propiedad que $\|f_k\|_{L^{2+\frac{1}{k}}(\Omega)} = 1$ para todos $k\ge 1$ . $\Omega$ es un dominio delimitado en $\mathbb{R}^n$ . ¿Puede tal secuencia de funciones converger fuertemente a CERO en $L^2(\Omega)$ , es posible?

Answer 1

Creo que la respuesta sería sí. Has tratado de tomar una función característica de un conjunto de tamaño $n^{-1}$ con la altura de la $n^{k / (2k + 1)}$. El $(2 + 1/k)$-norma se $1$ pero el (plaza de la) $L^2$-norma será $$\frac1{n^{1- \frac{2k}{2k + 1}}}.$$ When fix the $n$ large enough in terms of $k$ para hacer que la expresión tan pequeño como usted desea. Por ejemplo: $$ n = 2^{k (2k + 1)}. $$ haría.