Dos personas se turnan para colorear un poliedro convexo

Question

Rachel y Beatrice se turnan para colorear las caras de un poliedro convexo de color rojo y azul, respectivamente. Una jugadora gana si consigue su color en tres caras que comparten un vértice común. Si Raquel va primero y ambas jugadoras utilizan sus estrategias óptimas, ¿quién gana la partida?

No entiendo muy bien por dónde empezar. He intentado jugar al juego pero no me ha servido de mucho porque no se me ocurren ideas. Sé que para un tetraedro, el juego resulta en un empate. Sé que para un cubo la primera persona gana si elige algo adyacente a su primer movimiento. Después de esto, no estoy seguro con un pentágono porque si es una pirámide con base cuadrada, la primera persona gana si escoge el cuadrado pero si es un prisma triangular, resulta en un empate.

Answer 1

Generalizando esa estrategia del cubo, el primer jugador $R$ gana si hay alguna cara con cuatro o más aristas. Elige primero esa cara. Lo que el segundo jugador $B$ hace, hay tres aristas consecutivas de esa cara con las otras caras en ellas abiertas. Elige la cara conectada a la arista del medio. Entonces hay dos caras abiertas que conducen a una victoria en $R$ El próximo movimiento de la empresa; $B$ sólo puede bloquear uno de ellos, y $R$ gana.

Del mismo modo, si hay algún vértice que forme parte de cinco o más caras, el primer jugador gana. Sigue eligiendo caras en ese vértice hasta que tengas tres.

Ambas estrategias ganan en el mínimo de tres movimientos, por lo que no tienen que preocuparse de jugar a la defensiva - el oponente no tiene la oportunidad de colorear suficientes caras para tener una oportunidad de ganar.

¿Qué polígonos no encajan en ninguna de estas categorías? Necesitamos que todas las caras sean triángulos y que todos los vértices tengan grado $4$ o menos. Eso nos da el siguiente sistema para el número de vértices, aristas y caras: $$3F = 2E$$ $$4V \ge 2E$$ $$V+F = E+2$$ La última ecuación es la característica de Euler, verdadera para cualquier poliedro sin agujeros. Combinando esto, $$12E+24=12(V+F)=4\cdot 3F+3\cdot 4V \ge 4\cdot 2E+3\cdot 2E = 14E$$ y $E\le 12$ . Eso nos lleva a tres posibilidades:

• $E=6,F=4,V=4$ . El tetraedro. Como ningún jugador tiene la oportunidad de colorear tres caras, es un empate.
• $E=9,F=6,V=5$ . Esto se puede realizar construyendo dos pirámides triangulares en lados opuestos de la misma base. El primer jugador tiene aquí una estrategia ganadora. Su primer movimiento es una cara que cubre dos de los grados $4$ vértices y un grado $3$ vértice (porque todas las caras son así). Su segundo movimiento es cualquier cara conectada por el borde a la primera. En su tercer movimiento, hay tres o cuatro opciones ganadoras, de las cuales como máximo dos están bloqueadas.
• $E=12,F=8,V=6$ . El octaedro. Como señaló @Jaarbahd, esta es una victoria para el primer jugador $R$ . Alternativamente, hay una estrategia que no se preocupa por la defensa - para $R$ En el segundo movimiento del jugador, se elige una de las tres caras conectadas por aristas a su primer movimiento (hay al menos dos disponibles). Entonces hay cuatro posibles caras que ganan en el siguiente movimiento, y los dos movimientos del primer jugador sólo pueden bloquear dos de ellas.

Así que, ahí está. En cualquier cosa que no sea el tetraedro, el primer jugador gana en el mínimo de tres movimientos, sin preocuparse por la defensa. No es un gran juego.

Answer 2

No tengo una respuesta, pero tal vez pueda contribuir:

Consideremos el octoedro. Verás que el jugador 1 siempre gana con una estrategia óptima. Cualquiera que sea la cara que elija P2 para su primer movimiento, P1 responde pintando la cara opuesta. A menos que P2 elija la cara opuesta al primer movimiento de P1. En ese caso, P1 responde seleccionando cualquier cara que esté conectada por los bordes con la elegida por P2. Lo que elija P2 después de eso deja una jugada ganadora.

Answer 3

Todos los poliedros con un vértice, $v*$ de grado 5+ es una victoria para el jugador uno. Hay 5 caras que inciden en $v*$ En cada turno, el jugador uno elige una de estas caras, y el jugador dos no puede hacer nada. Además, todos los poliedros con una cara no triangular, $f$ son una victoria para el jugador 1. El jugador 1 elige $f$ que es incidente a 4+ vértices, y se desarrolla igual que el escenario del cubo.

El único caso que queda es el del octoedro y el de la no pirámide, que te dejaré resolver.