Demuestre que todas las normales a$\gamma(t)=(\cos(t)+t\sin(t),\sin(t)-t\cos(t))$ están a la misma distancia del origen.

Question

Mostrar que todas las normales a $\gamma(t)=(\cos(t)+t\sin(t),\sin(t)-t\cos(t))$ están a la misma distancia desde el origen.

Mi intento:

Deje $\vec{p}=(\cos(t_0)+t_0\sin(t_0),\sin(t_0)-t_0\cos(t_0))$ ser cualquier punto arbitrario para $t_0\in\mathbb{R}$. A continuación, el vector tangente a $\vec{p}$ está dado por $\dot\gamma(t_0)=(t_0\cos(t_0),t_0\sin(t_0))\implies$ la pendiente del vector tangente en cualquier punto es dado por $m=\tan(t_0)\implies$ la pendiente de la normal de cualquier línea dada por $m_{\perp}=-\cot(t_0)$. Ahora calculamos la línea normal en cualquier punto de $\vec{p}:$ $$y-(\sin(t_0)-t_0\cos(t_0))=-\cot(t_0)(x-\cos(t_0)-t_o\sin(t_0))\implies$$ $$\cot(t_0)x+y+(2t_0\cos(t_0)+\cot(t_0)\cos(t_0)-\sin(t_0))=0$$

Recordemos que la distancia de a$Ax+By+C=0$ e $Q(x_0,y_0)$ : $$|l,Q|=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Por lo tanto $$|l,Q|=\frac{\sqrt{4t_0^2\cos^2(t_0)+\cot^2(t_0)\cos^2(t_0)+\sin^2(t_0)}}{\sqrt{\cot^2(t_0)+1}}$$

¿Cómo puedo continuar a partir de aquí? Gracias de antemano!

$$$$ $$$$ Más avances:

Lema: $x^4+y^4=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2$.

Desde arriba sabemos que: $$\frac{\sqrt{4t_0^2\cos^2(t_0)+\cot^2(t_0)\cos^2(t_0)+\sin^2(t_0)}}{\sqrt{\cot^2(t_0)+1}}=\sqrt{\sin^2(t_0)(4t_0^2\cos^2(t_0)+\cot^2(t_0)\cos^2(t_0)+\sin^2(t_0))}=\sqrt{4t_0^2\sin^2(t_0)\cos^2(t_0)+\cos^4(t_0)+\sin^4(t_0))}=\sqrt{4t_0^2\sin^2(t_0)\cos^2(t_0)+\left((\cos^2(t_0)+2\sin^2(t_0))^2-4\sin^2(t_0)\cos^2(t_0)\right)}$$

Answer 1

En el punto de la curva $\gamma(t)$ tenemos el vector tangente $\dot\gamma(t)=(t\cos t,t\sin t)$. Gire a este vector en sentido antihorario $90^\circ$, y obtener un $(-t\sin t, t\cos t)$. Cuando $t>0$ por lo tanto la unidad normal a $\gamma(t)$ es $n(t)=(-\sin t, \cos t)$. Esto permite obtener el normal $\nu$ a $\gamma(t)$ en la forma paramétrica $$\nu:\quad u\mapsto\nu(u)=\gamma(t)+u\,n(t)=\bigl(\cos t+(t-u)\sin t,\ \sin t-(t-u)\cos t\bigr)\ .$$ Con el fin de determinar la distancia de $\nu$ desde el origen $O$ tenemos que determinar el punto de $P$ a $\nu$ para que $\vec{OP}\perp n(t)$. Esto significa que tenemos que encontrar la $u$-valor para el cual $\nu(u)\perp n(t)$, o $$\nu(u)\cdot n(t)=-\sin t\bigl(\cos t+(t-u)\sin t\bigr)+\cos t\bigl(\sin t-(t-u)\cos t\bigr)=0\ .$$ Esto se simplifica a $u=t$, por lo que obtenemos $P=\nu(t)=(\cos t,\sin t)$. Esto demuestra que $|OP|=1$, independientemente de $t>0$. El caso de $t<0$ es de curso analógica. (En $\gamma(0)$ la curva tiene una singularidad.)

Answer 2

Intenta parametrización de la normal? Usted será capaz de minimizar la norma $t$ y muestran el mínimo valor no depende de la $t_0$. Haga clic en el enlace de abajo para ver lo que quiero decir. Yo parámetros la normal para usted en la ranura #5

https://www.desmos.com/calculator/rrfe1s94dm

Si usted hace esto, usted encontrará que cualquier línea normal es una unidad de distancia desde el origen.

Espero que esto ayude.