Grupo fundamental de$Q:=\{[x,y,z,t,u,v] \in \mathbb{R}P^5 |x^2+y^2+z^2-t^2-u^2-v^2=0\}$ y una cobertura de un cuadric

Question

Yo estaba haciendo un poco de ejercicios con el fin de prepararme para el examen escrito de la Topología General. No nos da suficiente atención a la quadrics, así que este ejercicio me está dando duro a veces, algún consejo al respecto?

Casi puedo ver lo que podría suceder con $C$, dado que, de forma heurística hablando, entre una elíptica hyperboloid y un toro hay una clara homomorphism. Pero $Q$ es completamente exótico para mí.

• Considere la posibilidad de $\,\,Q:=\{[x,y,z,t,u,v] \in \mathbb{R}P^5 | \,\,x^2+y^2+z^2-t^2-u^2-v^2=0\}$. Utilizando el mapa de $\pi: S^5 \to \mathbb{R}P^5\,\,$ muestran que $Q$ es de arco conectado y encontrar su grupo fundamental de la $\pi_1(Q)$.
• Considere la posibilidad de $C :=\{[x,y,z,t] \in \mathbb{R}P^3 | \,\,x^2+y^2-z^2-t^2=0\}$. Utilizando el mapa de $\pi:S^3 \to \mathbb{R}P^3$, muestran que el torus $T^2$ es una cubierta de $C$; y en el mapa de la $\phi:S^1 \times S^1 \to S^1 \times S^1$ donde $\phi(z,w)=(zw,z \bar{w})$, muestran que la quadric $C$ es homeomórficos a $T^2$.

Answer 1

Si se descomponen $\mathbb{R}^6$ como $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$, entonces las soluciones a $x^2+y^2+z^2-t^2-u^2-v^2=0$ puede ser considerado como pares de $\mathbb{R}^3$ vectores de la misma longitud. Los vectores deben ser distinto de cero si se corresponden con los puntos de $\mathbb{R}\mathrm{P}^5$, por lo que podemos escala de los vectores que ambos tienen la longitud de $1/\sqrt{2}$, lo cual pone a la par de vectores en $S^5$, y, en particular, en $S^2\times S^2\subset S^5$. Los puntos de $S^2\times S^2$ , a continuación, representan cada punto de $Q$ a través del cociente mapa de $S^5\to \mathbb{R}\mathrm{P}^5$.

La restricción del cociente mapa a $S^2\times S^2$ está conectado a un doble cubierta de $Q$, y desde $S^2\times S^2$ es simplemente conectado, podemos deducir $\pi_1(Q)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Para el conjunto de $C$, es similar, pero en lugar de que sea en pares de dos $\mathbb{R}^2$ vectores de la misma longitud. Es el toro de Clifford $S^1\times S^1\subset S^3$ que surjects en $C$ través $S^3\to \mathbb{R}\mathrm{P}^2$ ahora. Uno puede parametrizar el toro de Clifford por el pensamiento de $\mathbb{R}^4$ como $\mathbb{C}^2$, luego de tomar todas las $(z,w)$ con $|z|=|w|=1$, donde estamos pensando en la 3-esfera como $S^3=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2:|z|^2+|w|^2=2\}$. El cociente mapa identifica $(z,w)\sim (-z,-w)$. Es decir, cada punto se identifica con 180 grados de cambio en cada coordenada. Si usted es cuidadoso con la construcción de una fundamental de dominio, usted puede ver el cociente es $S^1\times S^1$ así. (Pensé en $S^1\times S^1$ como $\mathbb{R}^2$ modulo entero de celosía. El cociente es un cambio por $(1/2,1/2)$, y si se piensa en el entero de rejilla con la base $(1,0),(1,1)$ entonces el $(1,1)$-círculo es el doble que cubre un círculo en el cociente.)