Supongamos que un compacto de Lie del grupo de $G$ actúa sobre un colector $M$ con sólo una órbita de tipo $G/H$ ($H$ denota el estabilizador de grupo). A continuación, el colector $M$ se convierte en una fibra paquete más el cociente del colector $X:=M/G$ con la típica fibra $G/H$ y la estructura de grupo $G$.
Por un lado se podía ver la cotangente del paquete de $T^* X$ del cociente (que lleva un natural de la estructura simpléctica).
Por otro lado considerar la levantó acción de $G$ en la cotangente del paquete de $T^* M$ con un momento de mapa de $\mu: T^* M\to \mathfrak{g}^* .$ El simpléctica cociente $T^* M//G:=\mu^{-1}(0)/G$ hereda la estructura de un simpléctica colector. Aquí viene la pregunta: es $T^* X$ $T^* M//G$ (canónicamente) symplectomorphic?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Estos dos simpléctica colectores son canónicamente symplectomorphic.
Observe en primer lugar, que el mapa de $\mu$ se desvanece en el sub-paquete de $T^* M$ de 1-formas de fuga en las fibras de la fibration $M\to X$. Llamamos a este sub-paquete por $T_h ^* M$ (h - horizontal).
Para la construcción de la symplectomorphism aviso de que hay una evidente proyección $\pi: T_h^* M \to T^* X$. La restricción de la forma simpléctica de $T^* M$ $ T_h^* M$es igual a la retirada de la forma simpléctica de $T^* X$ bajo $\pi$. La proyección de $\pi$ viajes con la acción de la $G$ $G$ preserva la forma simpléctica en $T^* M$. Desde la proyección de $\pi$ solo produce el cociente de $T_h^*M$ por la acción de la $G$, ahora todo lo que sigue a partir de las definiciones.
Esto es más un comentario hacia Gourishankar que una respuesta a la pregunta original. Fue parte de mi tesis, (UCB, 1986), así que, pido disculpas, yo timbre. Por simplicidad, Me tome el caso de $G$ Abelian, y $H = $ trivial. Para asignar $J^{-1} (\mu)$ equivariantly a $J^{-1}(0)$ restar $\mu \cdot A$ donde $A$ cualquier $G$, para la conexión de $\pi: X \to X/G$. $J^{-1} (0)/G = T^* (X/G)$ canónicamente, independiente de la conexión. El mapa de " momentum cambio de mapa de subtracing $\mu \cdot A$ de co-vectores no es simpléctica, en relación a la estructura estándar, sino que se convierte en simpléctica si usted resta $\mu \pi^* F_A$ donde $F_A = curv(A)$, a partir de la estructura estándar. Por lo que el espacio reducido en $\mu$ $T^*(X/G)$ con la estructura estándar de menos la `magnético plazo" $\mu F_A$.
Para no Abelian $G$ ($H$ todavía trivial), es más fácil explicar las cosas en términos de Poisson.
$T^* X/G$ es un múltiple de Poisson cuya simpléctica hojas
son la reducción de los espacios en cuestión. El impulso
cambio truco convierte en $T^* (X/G) \oplus Ad^* (X)$ donde $Ad^* (X) \to X/G$
es el co-adjoint paquete asociado a $X \to X/G$ -- sus fibras son el
doble álgebras de Lie para $G$. Esta suma directa de paquete admite coordenadas $s_i, p_i, \xi_a$ donde $s_i, p_i$ son canónicos coordenadas en $T^*(X/G)$ inducida por las coordenadas $s_i$ $X/G$
y donde $\xi_a$ son de fibra de coordenadas lineales en la co-adjoint paquete inducida por
por una decisión de la sección local de $\pi$. A continuación, los principales complicado parte del soporte es que
el soporte de $p_i$ $p_j$ es $\Sigma \xi_a F^a _{ij}$, $F$ siendo la curvatura de la conexión
en relación a la elección de la sección local. El simpléctica hojas = espacios reducidos
son de la forma $T^*(X/G) \oplus $(co-adjoint órbita bundle).
Además de Dmitri respuesta: cuando usted está haciendo la reducción a cero impulso algunas cosas interesantes que suceda: el simpléctica espacio reducido $J^{-1}(\mu)/G_\mu$, entonces se convierte en un haz de fibras de más de $T^\ast X$ con fibra típica de la co-adjoint órbita $\mathcal{O}_\mu$. En el caso de $\mu = 0$, esto se reduce a que el caso se discutió anteriormente. Esta realización no es canónico, sin embargo, y depende de la elección de una conexión en $M \to M/G$.
La idea de la prueba es relacionar $J^{-1}(\mu)$ $J^{-1}(0)$ mediante la conexión de un formulario y, a continuación, utilizar el isomorfismo se mencionó anteriormente. Después, la curvatura se muestra en la reducción de la forma simpléctica en $J^{-1}(\mu)/G_\mu$, la cual es entonces la suma de la forma canónica en $T^\ast X$ y una de dos formas construidas a partir de la curvatura.
En el caso de que $M = G$, se puede elegir el Maurer-Cartan forma como su conexión y, a continuación, el isomorfismo es $J^{-1}(\mu)/G_\mu = \mathcal{O}_\mu$ con los KKS simpléctica forma, que es, en cierto sentido, la "curvatura" de la Maurer-Cartan "conexión".
