Cokernel en categorías de módulo (Ejercicio 4.4 en el libro de Blyth)

Question

He estado trabajando en "Module Theory:An Approach to Linear Algebra" de T. S. Blyth y estoy atascado en el ejercicio 4.4 que es

"Dejemos $f: M \to N $ ser un $R$ -morfismo. Por un cokernel de $f$ nos referimos a un par $(P,\pi)$ que consiste en un $R$ -Módulo $P$ junto con un $R$ -epimorfismo $\pi: N\to P$ tal que

(1) $\pi \circ f = 0$

(2) para cada $R$ -X y cada $R$ -morfismo $g:N\to X$ tal que $g\circ f = 0$ hay un único $R$ -morfismo $\alpha: X\to P$ tal que $\pi = g \circ \alpha$ .

Demostrar que $(N/Imf, \phi)$ ( $\phi$ es el mapeo canónico) es un cokernel de $f$ . "

(1) no es tan difícil, pero para (2) sólo puedo demostrar que existe un único $R$ -morfismo $h:N/Imf \to X$ y no al revés, que es lo que se requiere. ¿Me he perdido algo? ¿Es posible que la definición del cokernel esté mal? Gracias

Answer 1

Sí, hay un error en el ejercicio. Debería ser un mapa $\alpha : P \to X$ tal que $\alpha \circ \pi = g$ . Entonces puede demostrar que $(N/ \operatorname{im}f, \phi)$ es un cokernel gracias a su teorema 4.4.

De lo contrario, con una definición errónea, se podría, por ejemplo, tomar $P = 0$ y esto satisfaría las condiciones del ejercicio; pero está claro que no es lo que debería ser un cokernel.