Problema integral. No estoy seguro del enfoque.

Question

Tengo esta integral:

$$\int_0^1 \frac{1 + 12t}{1 + 3t}dt$$

Puedo dividir esto en:

$$\int_0^1 \frac{1}{1+3t} dt + \int_0^1\frac{12t}{1+3t}dt$$

El lado izquierdo:

$u = 1+3t$ y $du = 3dt$ y $\frac{du}{3} = dt$

así que $$\frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C$$

¿Pero qué pasa con la derecha?

Answer 1

Una pista:

$$\frac{12t}{1+3t} = 4 - \frac{4}{1+3t}.$$ Ahora utiliza el mismo enfoque que para la primera parte. De hecho, deberías haber simplificado la fracción antes de dividirla en partes.

Recuerda evaluar la integral en t=0 y t=1! ;)

Answer 2

Al menos en un primer vistazo, yo haría la sustitución

$$u = 1+3t \implies du = 3dt \implies dt = \frac{du}{3}$$

Tenga en cuenta que $t = (u-1)/3$ y por lo tanto $12t = 4(u-1)$ .

Entonces la integral se convierte en

$$\int_0^1 \frac{12t}{1 + 3t} dt = \int_\ast^\ast \frac{4(u-1)}{u} \frac{dt}{3} = \frac 4 3 \int_\ast^\ast \frac{u-1}{u}du = \frac 4 3 \int_\ast^\ast 1 - \frac{1}{u}du$$

Pero esto parece un poco excesivo e innecesario, aunque sea lo primero que se le ocurra. (Por eso he dejado los límites como $\ast$ En casos como éste, la complicación excesiva sugiere un enfoque alternativo).

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Otro truco es "sumar y restar lo mismo desde arriba"; esto puede ser útil en muchas clases de matemáticas para las manipulaciones si se suma y se resta lo correcto. En este caso, nos damos cuenta:

$$12t = 12t + 4 - 4 = 4(3t+1) - 4$$

Así,

$$\int_0^1 \frac{12t}{1 + 3t} dt = \int_0^1 \frac{4(3t+1) - 4}{1 + 3t} dt = \int_0^1 4 - \frac{4}{1 + 3t} dt$$

Answer 3

Mi primer intento es dividir la integral de otra manera:

$$\int_0^1{\frac{1+12t}{1+3t}}dt = \int_0^1{\frac{1+3t+9t}{1+3t}} dt = \int_0^1 1 \, dt + \int_0^1 \frac{9t}{1+3t} dt$$

Ahora observe que

$$\int_0^1 \frac{9t}{1+3t} dt = \int_0^1{\frac{3t}{1+3t}} \cdot 3dt = \int_0^1{\frac{3t}{1+3t}}d(3t) = \int_0^3 \frac{u}{1+u} du$$

que se puede encontrar mediante otra sustitución, o

$$\int_0^3 \frac{u}{1+u} du = \int_0^3 \frac{u+1-1}{1+u} du = {\int_0^3 1\,du} - {\int_0^3{\frac{1}{1+u}} du} = 3-\int_1^4 \frac{1}{s} ds = 3-\log(4).$$

Por lo tanto, $$\int_0^1 \frac{1+12t}{1+3t}dt = 1+3-\log(4)=4-\log(4).$$

Answer 4

$u=1+3t$ :

$$ \begin{align} \int\frac{1+12t}{1+3t}\,dt &=\int\frac{1}{1+3t}\,dt+12\int\frac{t}{1+3t}\,dt\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+3t}\frac{d}{dt}(1+3t)\,dt+\frac{12}{3}\int\frac{3t}{1+3t}\,dt\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}\,du+4\int\frac{1+3t-1}{1+3t}\,dt\\ &=\frac{1}{3}\ln{|u|}+4\left(\int\frac{1+3t}{1+3t}\,dt-\int\frac{1}{1+3t}\,dt\right)\\ &=\frac{1}{3}\ln{|u|}+4\int\,dt-\frac{4}{3}\int\frac{1}{1+3t}\frac{d}{dt}(1+3t)\,dt\\ &=\frac{1}{3}\ln{|u|}+4t-\frac{4}{3}\int\frac{1}{u}\,du\\ &=\frac{1}{3}\ln{|u|}+4t-\frac{4}{3}\ln{|u|}\\ &=\ln{\left(\frac{|u|^{1/3}}{|u|^{4/3}}\right)}+4t\\ &=\ln{|u|^{-1}}+4t\\ &=4t-\ln{|1+3t|}+C. \end{align} $$