Prueba algebraica de que dos afirmaciones del teorema fundamental del álgebra son equivalentes

Question

Los estudiantes que estudian el teorema fundamental del álgebra en la escuela secundaria están probablemente familiarizados con la afirmación de que es algo como la siguiente.

Todos los no-cero, de una sola variable, el grado $n$ polinomio con coeficientes complejos tiene, contados con su multiplicidad, exactamente $n$ raíces complejas.

Sin embargo, otra declaración a menudo veo (y es la primera en el artículo de la Wikipedia) es la siguiente.

El teorema fundamental del álgebra establece que todos los no-constante de una sola variable polinomio con coeficientes complejos tiene al menos un complejo de raíz.

Estas declaraciones son equivalentes y que la Wikipedia dice que esto puede ser demostrado por los sucesivos polinómica de la división. Sin embargo, Wikipedia no da esta prueba. Que está ausente de Wolfram MathWorld así.

Mi pregunta es, ¿qué es la prueba de que estas declaraciones son equivalentes? Sé que el teorema fundamental del álgebra no puede ser probada de manera algebraica, pero esta equivalencia puede ser demostrado con sólo álgebra, es decir, división de polinomios?

Answer 1

La inducción (en la que el grado del polinomio) es suficiente.

Como es claro que la primera implica la segunda, sólo tenemos que argumentar que la segunda implica la primera.

Esto es claro para el grado $1$.

Inductivo suponga que el grado $n-1$.

Deje $P(x)$ tienen un grado $n$. Por la segunda definición tiene al menos una raíz, $\alpha$. Entonces, por el estándar de la división de polinomios se puede escribir $P(x)=(x-\alpha)\times Q(x)$ donde $Q(x)$ tiene el grado $n-1$. La aplicación de la hipótesis inductiva a $Q(x)$ muestra que la segunda definición implica que la primera.

Nota: Un problema ha sido planteado en los comentarios, a saber, el hecho de que el anterior se supone que el número de raíces (con multiplicidad) es un aditivo de la función. Es decir, para polinomios $g,h$ si $g(x)$ tiene exactamente $a$ raíces y $h(x)$ tiene exactamente $b$ entonces $f(x)=g(x)\times h(x)$ tiene exactamente $a+b$ raíces. Esto suena plausible afirmación no es cierta general de los anillos. de hecho, para $\mathbb Z\big / 4\mathbb Z$ podríamos tomar a $g(x)=x, h(x)=x$. Entonces es claro que tanto $g,h$ tiene exactamente una raíz, pero su producto $x^2$ tiene tres ($0$ dos veces, contando la multiplicidad, y $2$).

Para un campo sin embargo, como $\mathbb C$, esta situación no puede suceder. Tenga en cuenta que $\mathbb Z\big / 4\mathbb Z$ tiene lo que se llaman divisores de cero. No cero elementos que se multiplican a $0$. Eso es lo que hemos utilizado para hacer el contraejemplo. $2\neq 0 $ pero $2\times 2=0$ en ese anillo. Los campos no contienen tales elementos. De hecho, si $xy=0$ en un campo y $x\neq 0$ podemos multiplicar ambos lados por $x^{-1}$ a ver que $y=0$. (por supuesto, en el ejemplo anterior, $2$ no es invertible en que el anillo).

Por lo tanto, podemos establecer el Lema:

Lema: si $g(x),h(x)\in \mathbb F[x]$ donde $\mathbb F$ es un campo, entonces el número de raíces de $f=g\times h$ es la suma del número de raíces de $g$ e $h$ (tomada con multiplicidad de curso).

Pf: Claramente cada cero de $g,h$ da lugar a una raíz de $f$. También debemos mostrar que cada raíz de $f$ surge a partir de una raíz de cualquiera de las $g$ o $h$ (o ambos). Pero si $f(\alpha)=0$ entonces $g(\alpha)\times h(\alpha)=0$ y dado que no existen divisores de cero en $\mathbb F$ debemos tener al menos uno de los factores $g(\alpha),h(\alpha)=0$ y hemos terminado.