Resolver

Question

Resuelve la siguiente ecuación sobre el número real (preferiblemente sin cálculo): $$\log_2(3^x-1)=\log_3(2^x+1).$ $

Este problema es de un concurso de matemáticas celebrado donde aprendo; No pude hacer mucho para remendarlo; He observado la solución $x=1$ pero no he podido probar que no hay otras o determinarlas si las hay.

Answer 1

Si $t = \log_2(3^x-1) = \log_3(2^x+1)$, tenemos $2^t = 3^x - 1$ e $3^t = 2^x + 1$. Por lo tanto $3^t + 2^t = 3^x + 2^x$. Es fácil ver que $3^x + 2^x$ es una función creciente de $x$, por lo tanto debemos tener $t=x$.

Ahora con $t=x$ la ecuación se convierte en $3^x - 2^x = 1$. Dividiendo por $2^x$, escribe como $(3/2)^x - 1 = (1/2)^x$. Ahora, el lado izquierdo es una función creciente de $x$, mientras que el lado derecho es una función decreciente de $x$, por lo que sólo puede haber un $x$ donde ellos son iguales. Por la inspección, que $x$ es $1$.

Answer 2

Utilizaremos la siguiente: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Así: $ \log_2(3^x - 1) = \log_3(3^x-1) \iff \frac{\ln(3^x-1)}{\ln(2)} = \frac{\ln(2^x+1)}{\ln(3)}$

Que es:

$ \ln(3)\ln(3^x-1) = \ln(2)\ln(2^x+1) $

Así que nos quedamos con una función de $f:(0,+\infty) -> \Bbb R$ , $f(x) = \ln(3)\ln(3^x-1) -\ln(2)\ln(2^x+1) $

Mirando sus derivados:

$f'(x) = \ln(3) \frac{3^x\ln(3)}{3^x-1} - \ln(2) \frac{2^x\ln(2)}{2^x+1} = \frac{6^x(\ln^2(3) - \ln^2(2)) + 3^x\ln^2(3) - 2^x\ln^2(2)}{(3^x-1)(2^x+1)} $

Vemos que el signo de que depende el signo del numerador.

Deje $g(x) = 6^x(\ln^2(3) - \ln^2(2)) + 3^x\ln^2(3) - 2^x\ln^2(2) $

Que es claramente positiva ( causa $3^x\ln^2(3) > 2^x\ln^2(2) $ e $6^x(\ln^2(3) - \ln^2(2)) > 0 $ )

Así que nuestra función $f$ va en aumento, y que los medios (porque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$), que nuestra función tiene sólo una raíz. Sin embargo, es un poco de una conjetura a decir que es $x=1$.

EDITAR:

De hecho, no es difícil encontrar esa solución. Tenemos una ecuación con $\ln$.

Deje $a(x) = 3^x-1$, $b(x) = 2^x+1$

Entonces, llegamos con: $\ln(3)\ln(a(x)) = \ln(2)\ln(b(x))$ Que tiene claramente una solución al $a(x) = 2$ e $b(x) = 3$, y afortunadamente $3^x = 3$ e $2^x=2$ tiene una solución $x=1$