Distribución de la suma de exponentes independientes con número aleatorio de sumandos

Question

Deje que $ \tau_i\sim\exp\left ( \lambda\right )$ ser independientes y exponenciales distribuidos idénticamente con el parámetro $ \lambda $ . Entonces, por supuesto $n$ la suma de estos valores $$T_n := \sum_ {i=0}^n \tau_i $$ sigue un Erlang-Distribución con la función de densidad de probabilidad $$ \pi (T_n=T| n, \lambda )={ \lambda ^n T^{n-1} e^{- \lambda T} \over (n-1)!} \quad\mbox {for }T, \lambda \geq 0.$$

Estoy interesado en la distribución de $T_ \tilde n$ donde $ \tilde n$ es una variable aleatoria tal que para $ \tau_a \sim \exp ( \lambda_a )$ distribuido exponencialmente, sostiene que $$T_ \tilde n \leq \tau_a \\T_ { \tilde {n}+1} > \tau_a. $$

En otras palabras, $T_{ \tilde n}$ está truncada por una distribución exponencial. No logro derivar la distribución de $ \tilde n$ pero tal vez haya una forma más fácil: $$ \pi\left ( \tilde n = k \right ) = \pi\left (T_n < \tau_a |n=k \right ) \\ =1- \int\limits_ { \mathbb {R}^+} \sum\limits_ {n=0}^{k-1} \frac {1}{n!} \exp\left (-( \lambda + \lambda_a ) \tau_a\right )( \tau\lambda_a )^n \lambda_ad\tau_a. $$

Sin embargo, el simple hecho de tomar muestras y de mirar a los ojos me parece que esta densidad no es tan fea:

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

Answer 1

Como se detalla en esta respuesta validada X esperando una suma de iid exponencial $ \mathcal E( \lambda )$ varía para superar una produce un Poisson $ \mathcal P( \lambda )$ variate $N$ . Por lo tanto, esperar una suma de iid exponencial $ \mathcal E( \lambda )$ varía hasta superar $ \tau_a $ produce un Poisson $ \mathcal P( \tau_a\lambda )$ variate $N$ condicionado a $ \tau_a $ (ya que al dividir la suma por $ \tau_a $ equivale a multiplicar el parámetro exponencial por $ \tau_a $ . Por lo tanto \begin {alineado*} \mathbb P(N=n)&= \int_0 ^ \infty \mathbb P(N=n| \tau_a ) \, \lambda_a e^{- \lambda_a\tau_a }\, \text {d} \tau_a\\ &= \int_0 ^ \infty \dfrac {( \lambda\tau_a No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no \tau_a\lambda } \, \lambda_a e^{- \lambda_a\tau_a }\, \text {d} \tau_a\\ &= \dfrac { \lambda_a\lambda No, \int_0 ^ \infty \tau_a No, no, no. \tau_a ( \lambda + \lambda_a )} \, \text {d} \tau_a\\ &= \dfrac { \lambda_a\lambda No, \dfrac { \Gamma (n+1)}{( \lambda_a + \lambda )^{n+1}}= \dfrac { \lambda_a\lambda ^n}{( \lambda_a + \lambda )^{n+1}} \end {alineado*} que es un sistema geométrico $ \mathcal G( \lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ })$ variable aleatoria. (Aquí la variable geométrica es un número de fallas, lo que significa que su soporte comienza en cero.)

Considerando ahora $N$ como un número geométrico de ensayos, $N \ge 1$ la distribución de $$ \zeta = \sum_ {i=1}^N \tau_i $$ la función generadora de momento de $ \zeta $ es $$ \mathbb E[e^{z \zeta }]= \mathbb E[e^{z\{ \tau_1 + \cdots + \tau_N\ }}]= \mathbb E^N[ \mathbb E^{ \tau_1 }[e^{z \tau_1 }]^N]=E^N[\{ \lambda /( \lambda -z)\}^N]=E^N[e^{N( \ln \lambda - \ln ( \lambda -z))}]$$ y el mgf de un Geométrico $ \mathcal G(p)$ variar es $$ \varphi_N (z)= \dfrac {pe^z}{1-(1-p)e^z}$$ De ahí la función generadora de momento de $ \zeta $ es $$ \dfrac {pe^{ \ln \lambda - \ln ( \lambda -z)}}{1-(1-( \lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ }))e^{ \ln \lambda - \ln ( \lambda -z)}}= \dfrac {p \lambda }{ \lambda -z- \lambda ^2/\{ \lambda_a + \lambda\ }}$$ donde $p= \lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ }$ lo que lleva a la MGF $$ \dfrac { \lambda\lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ }}{ \lambda -z- \lambda\lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ }^2}= \dfrac {1}{1-z(p \lambda )^{-1}}$$ lo que significa que $ \zeta $ es un Exponencial $ \mathcal {E}( \lambda\lambda_a /\{ \lambda_a + \lambda\ })$ variar.