Verificación de pruebas de subgrupos de álgebra abstracta

Question

Este es mi primer intento en un formalmente prueba escrita, así que agradecería cualquier punteros tan lejos como prueba técnica de la escritura o de la validez de la prueba real en sí.

Nota: no he formalmente tomado álgebra abstracta o una prueba de escritura de curso, por lo que estoy seguro de que estoy con muchas carencias en la prueba de escritura de los aspectos, así que realmente me gustaría un montón de críticas constructivas, tanto en el real de la prueba en sí, y la forma en que escribí la prueba. Yo también entrar en mayor detalle que podría ser apropiada para este tipo de pruebas porque soy inestable en muchas de las matemáticas fundaciones, así que me imagino que cualquier imperfección en mi conocimiento va a ser visto más fácilmente con una más explícita la construcción de esta prueba. Gracias a todos de antemano.

Deje $G$ ser un grupo finito, y deje $S$ ser un subconjunto no vacío de a$G$. Supongamos $S$ es cerrado con respecto a la multiplicación. Demostrar que $S$ es un subgrupo de $G$. (SUGERENCIA: queda por demostrar que $S$ contiene $e$ e es cerrado con respecto a la recíproca. Deje $S$ = {$a_1$ ... $a_n$}. Si $a_i$ $∈$ $S$, considerar los distintos elementos del $a_ia_1$, $a_ia_2$, $...$ $a_ia_n$

Prueba:

En primer lugar vamos a definir una función de $A_1 : S \rightarrow S$ que se asigna a$s \mapsto a_1s$. Esta función es inyectiva porque $$a_1y = a_1x$$ $$a^{-1}_1a_1y = a^{-1}_1a_1x$$ $$y = x$$

La función, a continuación, surjective porque $A_1(S) \subseteq S$ y desde $A_1$ es inyectiva, contiene $|S|$ elementos. Por lo tanto, $A_1$ mapas en cada elemento de la $S$ y es por lo tanto surjective así.

Esto significa que $a_1$ es en la imagen de $A_1$. Por lo tanto $$A_1(a_1) = a_1$$ $$a_1s = a_1$$ $$s = e$$

Desde $S$ es cerrado bajo la multiplicación, $e \in S$.

A continuación, vamos a definir una función de $A_2 : S \rightarrow S$ que se asigna a$s \mapsto a^2_1s$. Esta función también es inyectiva $$a^2_1x = a^2_1y$$ $$x = y$$

De ello se desprende que esta función también es surjective ya que también es inyectiva y contiene la |S| de los elementos.

Esto significa que $a_1$ es en la imagen de $A_2$ así. Por lo tanto $$A_2(z) = a_1$$ $$a^2_1z = a_1$$ $$z = a^{-1}_1$$

Desde $S$ es cerrado bajo la multiplicación $a^{-1}_1 \in S$.

Por lo tanto, $e, a^{-1}_1 \in S$ lo $S$ es un subgrupo de $G$.

Por favor romper este aparte! Gracias de antemano.

Answer 1

Usted no necesita utilizar el segundo mapa $A_2$. Una vez que usted sabe que $e \in S$, usted sabe por la primera parte de la prueba de que $A_1$ es surjective, por lo $s \in S, a_1s=e$. A continuación, $s=a^{-1}$.

Otra forma de demostrar este resultado, por cierto, es solo tomar todas las facultades de $a_1$, todos los cuales están contenidos dentro de $S$ porque $S$ es multiplicatively cerrado. Se tiene que repetir en algún momento porque $S$ es finito. Si $a^m=a^{m+k}=a^ma^k$, a continuación, $a^k=e \in S$, e $aa^{k-1}=a^k=e \Rightarrow a^{k-1}=a^{-1} \in S$.

Como para la prueba de escritura, una pequeña nit. No creo que la línea de $A_1(a_1) = a_1$ expresa su intención de significado. Creo que te refieres a decir $a_1 \in A_1(S)$.

Answer 2

La prueba presentada aquí por nuestros OP ForIgreaterthan_I parece ser lógicamente válida; de hecho, me gusta porque es inteligente e innovadora.

La manera en que lo haría el enfoque de este, que por desgracia es estándar y, de hecho, no demasiado inteligente, ser como es, de hecho, bastante obvio y sencillo, es como sigue:

Vamos

$s \in S; \tag 1$

considere la posibilidad de los poderes

$s^i \in S; \tag 2$

desde

$S \subset G \tag 3$

y

$\vert G \vert < \infty, \tag 4$

tenemos

$\vert S \vert < \infty \tag 5$

así; por lo tanto la secuencia

$s, s^2, s^3, \ldots, s^i, s^{i + 1}, \ldots \tag 6$

debe repetirse en algún momento; es decir,

$\exists k, l \in \Bbb N, \; l \ge k + 1, \tag 7$

con

$s^l = s^k; \tag 8$

entonces

$s^{l - k} = e; \tag 9$

así

$e = s^{l - k} \in S; \tag{10}$

se deduce entonces que

$s^{l - k - 1}s = e \tag{11}$

y claramente

$s^{l - k - 1} \in S; \tag{12}$

así, la identidad de grupo $e \in S$, y cada una de las $s \in S$ tiene una inversa en $S$; $S$ es, pues, un subgrupo de $G$.