Dejar $S=\{p(x) \in \mathbb Z[X] :|p(x)| \leq 2^x, \forall x\in \mathbb N\}$. Probar $|S| < \infty$

Question

Pregunta:

Deje $S=\{p(x) \in \mathbb Z[X] :|p(x)| \leq 2^x, \forall x\in \mathbb N\}$. Demostrar $|S| < \infty$.

Aviso que esto no es cierto en $\mathbb R[X]$, $|x-a|\leq2^x $, $a\in[0,1]$ muestra. Después de experimentar un par de rondas en Desmo, no he encontrado ningún $p(x)\in \mathbb Z[X]$ con grado de $\geq3$ satisfacen esta propiedad. Se parece a un pedazo de la torta, pero resulta que el comportamiento de $|p(x)|$ es bastante caótico (Si dejamos caer el valor absoluto, el problema puede ser interesante). Por supuesto, $2^x$ va a terminar por dominar todos los polinomios. Pero, ¿cómo puedo probar todos, pero un número finito de polinomios dominar $2^x$ al principio? Creo que he subestimado la dificultad del problema. Cualquier sugerencia se agradece.

Pregunta de seguimiento: Vamos a $S=\{p(x) \in \mathbb Z[X] :|p(x)| \leq 2^x, \forall x\in \mathbb N\}$. Encontrar $|S|$.

Answer 1

Sugerencia: Muestre que si $f,g\in S$, entonces al menos $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)\neq g(n)$ no puede ser demasiado grande, por pensar en lo que puede decir acerca de la $g(n)-f(n)$.

Una solución completa se oculta debajo.

Deje $f,g\in S$ distintos y vamos a $n$ ser el menor número natural tal que $f(n)\neq g(n)$. A continuación, podemos escribir $$g(x)=f(x)+x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)h(x)$$ for some polynomial $h$ with integer coefficients such thhat $h(n)\neq 0$. In particular, $|h(n)|\geq1$ so that $$|g(n)-f(n)|\geq n!.$$ But since $f,g\in S$, $|g(n)-f(n)|\leq 2^{n+1}$, and so we must have $2^{n+1}\geq n!$, and so $n\leq 5$.

En otras palabras, cualquiera de los dos elementos de la $f,g\in S$ tal que $f(x)=g(x)$ para $x=0,1,2\dots,5$ debe ser igual. Ya que hay sólo un número finito de posibilidades para los valores de $f(0),f(1),\dots,f(5)$, esto muestra que $S$ es finito.