Encuentre el valor de$a$ tal que$F(a)=\int^{\frac \pi 2}_{0}{|\sin x-a\cos x|} \space dx$ esté minimizado

Question

Recientemente, estoy viendo Doraemon episodios en Youtube para relajarse a mí mismo de la carga de trabajo, hay un episodio que trata de escaparse de Suneo la casa(Episodio 330: 脱出!恐怖の骨川ハウス (Subtítulos en Chino)). Para escapar de la habitación, uno debe responder a la pregunta correctamente en cada puerta, y el nivel de dificultad de cada pregunta está en función. Nōbita eligió primero a la puerta, donde está la más cercana a la salida, por lo tanto la siguiente pregunta apareció en la pantalla:

Pregunta:(Traducido) Encontrar el valor de $a$ tales que la función $$F(a)=\int^{\frac \pi 2}_{0}{|\sin x-a\cos x|} \space dx$$ se reduce al mínimo.

Nōbita respondió $a=1$, lo que intuitivamente parecía mal para mí, por supuesto, se equivocó y la habitación era cada vez más como castigo.

Después de ver este episodio, he calculado el valor de $a$ como $\pm 1/\sqrt{3}$, y deja algunas dudas para mi intento.

Mi intento: Desde $\sin x$ es una función creciente y $a\cos x$ es una función decreciente sobre el intervalo cerrado a$[0, \frac \pi 2]$, para minimizar $F(a)$, tanto en la función debe intersecan en un punto en el intervalo abierto $(0, \frac \pi 2)$. Deje $(\theta, y(\theta))$ ser el punto de intersección de $y=\sin x$ e $y=a\cos x$. $$F(a)=\int^{\theta}_{0}{(a\cos x-\sin x)dx}-\int^{\frac \pi 2}_{\theta}{(\sin x - a\cos x)dx}$$ $$=(a\sin x+\cos x)|^{\theta}_{0}-(\cos x+a\sin x)|^{\frac \pi 2}_{\theta}$$ $$=2a\sin \theta+2 \cos \theta -a-1$$

Para minimizar $F(a)$, su función derivada debe ser $0$, es decir, $F'(a)=0$ $$F'(a)=2a\cos \theta-2\sin \theta=0 \space \space \space \space \Longrightarrow \tan \theta=a$$

Por lo tanto, $$F(a)=2a\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+2\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}-a-1=2\sqrt{a^2+1}-a-1$$ De nuevo, tome su derivado de los rendimientos $$F'(a)=\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}-1=0 \space \space \space \Longrightarrow a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Mis dudas:

• En primer lugar, no entiendo por qué punto de intersección se produce para minimizar la función de $F(a)$. Cuando $a$ es suficientemente amplio, por ejemplo, $a=1000$, ambas funciones $y= \sin x$ e $y= 1000 \cos x$ no tiene punto de intersección sobre el intervalo abierto $(0, \frac \pi 2)$.
• En segundo lugar, cuando me traen de vuelta a $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ en la función de $F(a)$, tengo la respuesta $$F(-\frac{1}{\sqrt{3}})=1+\frac {1}{ \sqrt{3}} \approx 1.5774$$ and $$F(\frac{1}{\sqrt{3}})=\sqrt{3}-1 \approx 0.73205$$ cuál de las siguientes implican la respuesta correcta?

Answer 1

La lógica de que la primera parte es preocupante, no deberíamos diferenciar $F$ antes hemos definido correctamente, o con respecto a una variable que no es uno de sus argumentos. Dos formas de solucionarlo:

Podríamos definir el $G(a,\theta)=\int_0^{\theta}a\cos x-\sin x\,dx+\int_{\theta}^{\pi/2}\sin x-a\cos x\,dx$. A continuación, $F(a)$ es el máximo de $G(a,\theta)$ con respecto al $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$, que podemos encontrar por la diferenciación $G$ con respecto al $\theta$. ¿Por qué el máximo? Porque en cada punto del intervalo, estamos integrando bien $+|\sin x-a\cos x|$ o $-|\sin x-a\cos x|$; la integral del valor absoluto viene cuando tomamos el valor de $\theta$ que nos da el $+$ señal en todas partes.

Alternativamente, podemos resolver para la división punto de $\theta$ directamente. Tenemos $\sin x-a\cos x$ cuando es positivo, y $a\cos x-\sin x$ cuando $\sin x-a\cos x$ es negativo. El punto de división entre ellos viene cuando $\sin x-a\cos x=0$o $\tan x=a$.

Esta $\theta=\arctan a$ es siempre dentro de $[0,\frac{\pi}{2})$ positivos $a$, y la fórmula $F(a)=2\sqrt{a^2+1}-a-1$ es válido en este rango. Para $a<0$, que la división de punto está fuera del intervalo, y que en lugar de conseguir que $|\sin x-a\cos x|=\sin x + (-a\cos x)$ para todos los $x\in [0,\frac{\pi}{2}]$, una suma de dos términos positivos. La integración de este, $F(a)=1-a$ para $a<0$. Así que, a nivel mundial, $$F(a)=\begin{cases}2\sqrt{a^2+1}-a-1&a\ge 0\\1-a&a<0\end{cases}$$ La diferenciación de eso, conseguimos $F'(a)=\begin{cases}\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}-1&a>0\\-1&a<0\end{cases}$. Que la derivada es cero cuando $a>0$ e $\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}=1$, el único punto de $a=\frac1{\sqrt{3}}$. También debemos tratar a $0$ donde la fórmula de los cambios y de los extremos de $\pm\infty$ como puntos críticos. Las pruebas de estos puntos, obtenemos $F(\infty)=F(-\infty)=\infty$; los que ciertamente no son los mínimos. $F(0)=1$, y si miramos más de cerca $F$ realidad es diferenciable en el punto cero del derivado $-1$. Que no es un extremo o incluso técnicamente un punto crítico -, pero hemos tenido que mirar de todas formas, para saber. Entonces $$F\left(\frac1{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{\frac43}-\frac1{\sqrt{3}}-1=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac1{\sqrt{3}}-1=\sqrt{3}-1\approx 0.732$$

Que el valor de $F\left(\frac1{\sqrt{3}}\right)$ es el valor más pequeño en cualquier de los puntos críticos, y por lo tanto es la mínima que hemos tratado. Parece que has cometido un error en la evaluación hay que confundirse. [Corregido]

Como para $-\frac1{\sqrt{3}}$? Eso no es un punto crítico, ya que la fórmula que vino de no se aplica en la región.

Answer 2

Supongamos $a<0$. Entonces, más de $[0,\pi/2]$, $\sin x-a\cos x\ge\sin x\ge0$, lo $F(a)\ge F(0)$. Por lo tanto, $F(a)$ no es mínima.

Por lo tanto, con el fin de tener un mínimo necesitamos $a\ge0$. En particular, no existe una única $\theta\in[0,\pi/2)$ tal que $a=\tan\theta$, es decir, $\theta=\arctan a$. Así tenemos $$ \sin x-a\cos x \begin{cases} \le 0 & 0\le x\le \arctan a \\[4px] \ge 0 & \arctan a\le x\le \pi/2 \end{casos} $$ y podemos escribir $$ F(a)=\int_0^{\arctan a} (\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\arctan a}^{\pi/2}(\sin x-a\cos x)\,dx $$ Así $$ F(a)=2a\sin\arctan+2\cos\arctan a-a-1 $$ que es el mismo que se encuentra, pero la mejor muestra de que $\theta$ depende de $a$.

Calcular la derivada es fácil y resulta que $$ F'(a)=\frac{2a^2}{1+a^2}\sin\arctan+\frac{2a}{1+a^2}\cos\arctan a-1 $$ Sólo se necesita un poco de trigonometría para obtener $$ \sin\arctan a=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\qquad \cos\arctan a=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $$ y así $$ F'(a)=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}-1 $$ que se desvanece para $a=1/\sqrt{3}$.

Por cierto, esto también muestra que, para $a\ge0$, $$ F(a)=2\sqrt{1+a^2}-a+c $$ y, desde $F(0)=1$, $c=1$.

Para $a<0$, $$ F(a)=\int_{0}^{\pi/2}(\sin x-a\cos x)\,dx=1-a $$

Como alternativa, considere la posibilidad de $\theta=\arctan a$, lo $a=\tan\theta$y $$ \cos x-a\sen x=\frac{1}{\cos\theta}(\cos\theta\cos x-\sin\theta\sin x)= \frac{\cos(x+\theta)}{\cos\theta} $$ Con la sustitución de $t=x+\theta$, su integral se convierte en $$ F(\tan\theta)= \frac{1}{\cos\theta}\int_{\theta}^{\theta+\pi/2}\lvert\cos t\rvert\,dt $$ La integral es simple: $$ \int_\theta^{\pi/2}\cos t\,dt-\int_{\pi/2}^{\theta+\pi/2}\cos t\,dt =2-\sin\theta\cos\theta $$ Así $$ G(\theta)=F(\tan\theta)=\frac{2}{\cos\theta}-\tan\theta-1 $$ y $G'(\theta)=\dfrac{2\sin^2\theta-1}{\cos^2\theta}$ se desvanece para $\sin\theta=1/2$, es decir, $\theta=\pi/6$. Esto corresponde a $a=1/\sqrt{3}$.

Answer 3

En primer lugar, vamos a discutir el signo de $a$. Supongamos $a$ es negativa, entonces la $\sin x - a\cos x$ es positivo en todas partes. Podríamos $a$ a ser positivas, por lo que las dos áreas que pueden cancelar los unos a los otros.

Observe que $\theta$ es una función de $a$. $\theta$ se define como la posición en la $\sin \theta-a\cos \theta=0$. Sabemos que $$a\cos \theta = \sin \theta$$

Esta propiedad posee todas partes y no sólo en el valor óptimo. Podemos sustituir esta directamente en la $F$ expresión para expresar todo lo en $a$ igual de lo que hizo o uso implícito de la diferenciación.

$$\theta = \tan^{-1}a$$

$$F(a) = 2a\sin \theta + 2\cos \theta-a-1$$

El uso implícito de la diferenciación,

$$F'(a)=2\sin \theta + \left(2a\cos \theta -2\sin \theta\right)\frac{d\theta}{da}-1=0$$

$$2\sin \theta =1$$

$$\sin \theta = \frac12$$

$$a=\tan \theta=\frac1{\sqrt3}$$

Por cierto, parece que dos $F$ valores que se evalúan parece haber sido cambiado.