Me han estado preguntando acerca de esta cuestión durante un tiempo (estoy casi seguro de que lo leí en algún concurso de matemáticas libro hace un tiempo)
Determinar qué números enteros positivos no puede ser escrito como suma de enteros positivos consecutivos.
Todos los números serán considerados enteros positivos en el siguiente, a menos que se indique lo contrario.
Yo estaba pensando de la siguiente manera: los números impares siempre va a funcionar ya que si tomamos una extraña $m$, tenemos
$$ m=2\cdot k+1=k+(k+1). $$
Entonces me di cuenta de que todos los números que tengan al menos un impar primer factor, también trabajo. Tome $n$ como tener un número impar primer factor y dejar que este extraño principal factor de ser $m$ y deje $n=m\cdot k$. Entonces $$ n=\underbrace{k+k+\ldots+k}_{m \ \text{momentos}} $$ y desde $m$ es extraño, por decir $m=2\cdot l+1$ hemos $$ n=\underbrace{k+k+\ldots+k}_{l \ \text{momentos}}+k+\underbrace{k+k+\ldots+k}_{l \ \text{momentos}} $$ y podemos comenzar a moverse $1$s uno por uno desde el lado izquierdo del medio "$k$" a la derecha de la misma $$ n=\underbrace{k+k+\ldots+(k-1)}_{l \ \text{momentos}}+k+\underbrace{(k+1)+k+\ldots+k}_{l \ \text{momentos}} $$ $$ n=\underbrace{k+k+\ldots(k-2)+(k-1)}_{l \ \text{momentos}}+k+\underbrace{(k+1)+(k+2)+\ldots+k}_{l \ \text{momentos}} $$ de esta manera terminamos en una suma de números enteros consecutivos. Puede suceder que algunos enteros en la izquierda será negativo que es no deseado, pero dado que estos números son números enteros consecutivos que siempre será capaz de cancelar los negativos sin alterar la estructura de la condonada. Para ver esto en acción tomemos $22=11\cdot 2$. Esto daría $$ 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 $$ así $$ 2+2+2+2+1+2+3+2+2+2+2 $$ el siguiente paso que da $$ 2+2+2+0+1+2+3+4+2+2+2 $$ parece que ahora estamos fuera de los números pero sólo hemos de seguir avanzando a un número creciente de $1$s a la derecha $$ 2+2+(-1)+0+1+2+3+4+5+2+2 $$ $$ 2+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+2 $$ finalmente $$ \underbrace{(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3}_{=0}+4+5+6+7 $$ así, obtenemos $$ 22=4+5+6+7. $$
Ahora tenemos un método para generar el deseado de expresión para todos los números impares y todos aquellos que tengan, al menos, una extraña primer factor. Qué números son los de la izquierda? Los que tienen SÓLO los números primos en su primer factorización. Estos son de la forma $2^n$. Yo estaba pensando en qué es lo que estas tienen en común y he pensado que son separados por un factor de $2$. La primera de estas se $1$ para $n=0$ e $1$ no puede ser expresado en el deseado por si se pudiera demostrar que $$ m \ \text{no puede ser expresado}\Rightarrow 2m \ \text{no puede ser expresado} $$ Estoy hecho. Así que yo estaba tratando de mostrar el contrapositivo $$ 2m \ \text{puede ser expresado}\Rightarrow m \ \text{puede ser expresado}. $$ Así que supongamos que $2m$ puede ser expresada. Ahora, eihter $m$ es extraño caso en el cual se realiza desde las probabilidades eran fáciles de expresar, o incluso que es, que es $m=2l$. A partir de aquí el argumento se repite. Eihter $l$ es extraño caso en el cual se realiza, o incluso que es, por lo $l=2k$ y así sucesivamente. Después de un tiempo nos deja fuera todos los de la $2$s y terminamos con y un número impar que podemos expresar y hemos terminado.
Así enteros de la forma $2^n$ pueden ser expresadas en este formulario.
Es mi razonamiento correcto?
Si no por favor, señale el lugar donde he cometido un error. Si resulta ser correcta, entonces todos estamos felices puedo dormir bien esta noche, pero sería agradable ver a una más rigurosa prueba de esto así que si alguien puede dar una estoy más que feliz de leer. Dado que este es un concurso de pregunta espero que realmente tiene una solución elegante y no considero la mía un elegante...
