La imagen de una base forma una base, si y sólo si la matriz es invertible

Question

Supongamos que $B_1=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ es una base de $\mathbb{R}^n$ y $M$ es un $n*n$ matriz. Demostrar que $B_2=\{Mv_1,Mv_2,...,Mv_n\}$ es también una base de $\mathbb{R}^n$ si y sólo si $M$ es invertible.

Lo siguiente es lo que tengo hasta ahora:

Supongamos que $B_2$ es la base de $\mathbb{R}^n$ .

Entonces, $B_2$ es un conjunto de vectores linealmente independientes, y $B_2$ abarca $\mathbb{R}^n$ .

Desde $B_1$ es también una base de $\mathbb{R}^n$ entonces cualquier elemento(vector) de $B_2$ es una combinación lineal de elementos (vectores) de $B_1$ y viceversa.

$Mv_1= a_{11}v_1+a_{21}v_2+...+a_{n1}v_n$ , donde $a_{11},a_{21},...,a_{n1}\in \mathbb{R}$

Igualmente, $Mv_2= a_{12}v_1+a_{22}v_2+...+a_{n2}v_n$ , donde $a_{12},a_{22},...,a_{n2}\in \mathbb{R}$

$\begin{bmatrix}Mv_1&Mv_2&...&Mv_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v_1&v_2&...&v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$

No estoy seguro de qué hacer a continuación...

Answer 1

Tenga en cuenta que $\{ v_1, \ldots, v_n \}$ es una base de $\mathbb{R}^n$ si y sólo si $\begin{bmatrix}v_1 \ldots v_n \end{bmatrix}$ es una matriz no singular.

Tenemos

$$\begin{bmatrix} Mv_1, \ldots , Mv_n \end{bmatrix} = M\begin{bmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{bmatrix} $$

$$\det\left(\begin{bmatrix} Mv_1, \ldots , Mv_n \end{bmatrix}\right) = \det(M)\det\left(\begin{bmatrix} v_1, \ldots , v_n \end{bmatrix} \right)$$

Por lo tanto, $\begin{bmatrix} Mv_1, \ldots , Mv_n \end{bmatrix}$ es no singular si y sólo si $\det(M)$ es distinto de cero, es decir, si y sólo si $M$ es no singular.

Answer 2

Utilizar el determinante es una solución muy elegante. Pero si no puedes usar el determinante, aún puedes demostrarlo.

Denotemos $\tilde{B_1}=[v_1~v_2~\ldots~v_n]$ y $\tilde{B}_2=[Mv_1~Mv_2~\ldots~Mv_n]$ . Entonces su última ecuación dice $\tilde B_2=\tilde B_1M$ .

Pistas:

Para terminar $B_2$ La base implica $M$ invertible :

Desde $B_2$ es una base, la matriz $\tilde B_2$ es invertible. En el lado derecho, la matriz $\tilde B_1$ es invertible, porque $B_1$ es una base.

Por lo tanto, se puede manipular la ecuación para obtener $M=\ldots$ , donde $\ldots$ es invertible, por lo que $M$ es invertible.

Para $M$ implica que es invertible $B_2$ base :

Supongamos que $B_2$ no es una base, entonces se puede encontrar una combinación lineal no trivial de $B_2$ que es $0$ . Se puede reescribir la ecuación y obtener una solución no trivial de $Mx=0$ . Por lo tanto, $M$ no es invertible y hemos terminado.

Answer 3

Para M invertible

$$a_1Mv_1+a_2Mv_2+...+a_nMv_n=M(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)=0 \iff a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n=0 \iff a_i=0$$

por lo tanto $Mv_i$ son linealmente independientes y forman una base.

Para $B_2$ base

• $\forall w\, \exists! v$ tal que $w=Mv$ En efecto, $$w=a_1Mv_1+a_2Mv_2+...+a_nMv_n=M(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)=Mv$$

entonces $M$ es invertible ya que existe $M^{-1}$ tal que $v=M^{-1}w$ .

Answer 4

$\begin{bmatrix}Mv_1&Mv_2&...&Mv_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}v_1&v_2&...&v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}$

La matriz de la derecha es simplemente $M^T$ .

Supongamos que se tiene una combinación lineal de la base original u \= [ $v_1,v_2...v_n$ ] $[c_1, c_2 ... c_n]^T$

Y supongamos que se trata de encontrar una combinación lineal de la nueva base

u \= [ $Mv_1,Mv_2...Mv_n$ ] $[c'_1, c'_2 ... c'_n]^T$

Podemos reescribirlo como

u \= [ $v_1,v_2...v_n$ ] $M^T[c'_1, c'_2 ... c'_n]^T$ =

[ $v_1,v_2...v_n$ ] $([c'_1, c'_2 ... c'_n]M)^T$

Así que podemos simplemente establecer $[c'_1, c'_2 ... c'_n] = [c_1, c_2 ... c_n]M^{-1}$