Uso del teorema del operador de extensión para los espacios de Sobolev

Question

Quiero saber si se cumplen ciertas condiciones después de aplicar el Teorema de Extensión de Sobolev:

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto acotado de $\mathbb{R}^{n}$ y $\partial U$ es $C^{1}$ . Supongamos que $1 \leq p < n$ .

Si arreglamos $1 \leq q < p^{*}$ , donde $p^{*}$ es el conjugado de Sobolev de $p$ entonces como también tenemos que $U$ está acotada se deduce de la inecuación Nirenberg-Gagliardo-Sobolev que $W^{1,p}(U) \subset L^{q}(U)$ y $||u||_{L^{q}(U)} \leq C||u||_{W^{1,p}(U)}$ .

Si consideramos el operador de extensión lineal $P: W^{1,p}(U) \rightarrow W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ Entonces, ¿se mantienen los supuestos anteriores? En otras palabras, ¿es cierto lo siguiente?

$W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}) \subset L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ y la desigualdad $||Pu||_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} \leq C||Pu||_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No existe tal cosa como el operador de extensión. La validez de la desigualdad de la norma para $P$ puede depender del operador de extensión que se utilice. Por ejemplo, se pueden extender las funciones de Sobolev sobre la bola unitaria a funciones de Sobolev sobre $\mathbb R^n$ para que la extensión desaparezca para $|x|>2$ . En tal caso, los resultados de incrustación para dominios acotados siguen siendo válidos.

Más concretamente, ha preguntado si la incrustación continua $W^{1,p}(\mathbb R^n)\subset L^q(\mathbb R^n)$ retenciones. La respuesta es positiva para $p\le q\le p^*$ , negativo para $1\le q<p$ .

Razones: la incrustación es válida para $q=p$ por la definición de $W^{1,p}$ y para $q=p^*$ por el Desigualdades del GNS . Para el nivel intermedio $q$ se mantiene por interpolación ( la log-convexidad de $L^p$ norma ).

Si $1\le q<p$ Considera que $f(x)=(1+|x|)^{-n/q}$ . Un cálculo directo muestra que $f\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ pero $f\notin L^q(\mathbb R^n)$ .

Answer 2

Tome el su caso $1 \leq q < p^{*}$ donde $u \in W^{1,p}(U)$ . Sea $Pu := v$ donde $P$ es un operador de extensión $P: W^{1,p}(U) \rightarrow W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ . Considere $v \in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$ donde $\text{spt}(v) \subset V$ se deduce entonces que $v \in W^{1,p}(V)$ .

Por Gagliardo-Nirenberg-Sobolev tenemos:

$||v||_{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^{n})} = (\int_{\mathbb{R}^{n}}|v|^{p^{*}})^{\frac{1}{p^{*}}} \leq C||Dv||_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$

Utilizando la desigualdad de Holder tenemos lo siguiente:

$\int_{\mathbb{R}^{n}}|v|^{q}dx =$ $\int_{V}|v|^{q}dx \leq (\int_{V}(|v|^{q})^{\frac{p^{*}}{q}}dx)^{\frac{q}{p^{*}}}$ $(\int_{V} 1^{\frac{\frac{p^{*}}{q}}{\frac{p^{*}}{q}-1}}dx)^{\frac{\frac{p^{*}}{q}-1}{\frac{p^{*}}{q}}}$ $\leq C(V)^{q}||Dv||_{L^{p}(V)}^{q}$ donde $C(V)$ es una constante que depende del conjunto acotado $V$ (Como está acotado, tiene una medida finita).

De ello se desprende inmediatamente que $||v||_{L^{q}(V)} \leq C(V)||Dv||_{L^{p}(V)} \leq C||v||_{W^{1,p}(V)}$ que es el resultado que buscabas.