resolviendo congruencia 12x ^ 2 + 28x + 1 mod 35

Question

¿Cómo resuelvo 12x ^ 2 + 28x + 1 mod 35? Intenté dividirlo en mod 7 y mod 5, pero no estoy seguro de cómo proceder desde allí.

A continuación se muestra mi trabajo de boceto:

$12x^2 + 28x + 1 \equiv 0 \mod 35$

$12x^2 + 7x + 1 \equiv 0 \mod 7$

$(3x + 1)(4x + 1) \equiv 0 \mod 7$

$2x^2 + 3x + 1 \equiv 0 \mod 5$

$(2x+1)(x + 1) \equiv 0 \mod 5$

Answer 1

Tu trabajo hasta ahora es genial. Ahora sabes que un factor en cada ecuación debe ser$0$. Como$\mathbb F_5$ y$\mathbb F_7$ son campos, cada factor lineal tiene exactamente un cero. Eso le da dos posibilidades para cada uno de los restos, y cada una de las cuatro combinaciones le da un resto posible$\bmod35$. Por ejemplo, al usar el primer factor en cada ecuación,$3x+1\equiv0\bmod7$ produce$x=2\bmod7$, y$2x+1\equiv0\bmod5$ produce$x=2\bmod5$. El resto único$\bmod35$ con estos residuos es$2$, y de hecho$12\cdot2^2+28\cdot2+1=48+56+1=105\equiv0\bmod35$.

Answer 2

En$12x^2 + 28x + 1 \equiv 0 \mod 35$, ya que 28$\equiv -7 \mod 35$ no se convertiría en$12x^2 - 7x + 1 \equiv 0 \mod 35$? Ahora, ¿no podríamos resolver esto en la realidad y luego tomar cada una de las soluciones$\mod 35$? Para las soluciones, obtendríamos$1\over 3$ y$1\over 4$, que son 12 y 9, respectivamente (ya que$3\times 12\equiv 1$ y$4\times 9\equiv 1 \mod 35$). Lo comprobé y este método produce respuestas congruentes con 0 mod 35 en la ecuación original.