Cómo mostrar la estanqueidad de una familia% de emisión $(\lambda)$,$\lambda \in \Lambda$ implica que$\Lambda$ está acotado.

Question

Todavía estoy aprendiendo cómo trabajar correctamente con la opresión de una secuencia. La pregunta es, como en el título:

Supongamos que una familia de Poisson$(\lambda)$, $\lambda \in \Lambda$ es apretado. Mostrar que $\Lambda$ debe estar acotada.

Lo que tengo hasta ahora he partir de la definición que debemos tener $\lim_{M \rightarrow \infty}\inf_\lambda\mathbb{P}_\lambda([-M,M]) = 1$. Escribir la definición de la probabilidad a medida que he

\begin{align*} \mathbb{P}_\lambda([-M,M]) = \mathbb{P}_\lambda([0,M]) &= \sum_{k=0}^M \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^M \frac{\lambda^k}{k!} \end{align*}

A partir de aquí podemos ver que como $M \rightarrow \infty$ tenemos que $e^{-\lambda}\sum_{k=0}^M \frac{\lambda^k}{k!} \rightarrow e^{-\lambda}e^\lambda = 1$, pero por lo que puedo ver que esto representa para valores arbitrarios de $\lambda$. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Una prueba simple es la siguiente. Por cada$\lambda\gt0$,$\mathbb P_\lambda([\lambda,+\infty))\gt0$ y, según el teorema del límite central,$\mathbb P_\lambda([\lambda,+\infty))\to\frac12$ cuando$\lambda\to\infty$, existe un$c$ #% tal que$\mathbb P_\lambda([\lambda,+\infty))\geqslant 2c$ para cada $\lambda\geqslant1$.

Cambiando las cosas al revés, esto significa que si existe$M\geqslant1$ tal que$\inf\limits_{\lambda\in\Lambda}\mathbb P_\lambda([-M,M])\geqslant1-c$, entonces no hay$\lambda\geqslant M$ en$\Lambda$, es decir,$\Lambda\subseteq[0,M]$.