Como evaluar integral con diferentes poderes.

Question

Estoy tratando de evaluar lo siguiente: \begin{equation} I(a,b) = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} (x-a)^{\alpha-1} \, x^n \, dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} (b-x)^{\alpha-1} \, x^n \, dx, \end{equation} donde$0<\alpha<1$. Wolfram alfa no da solución. Intenté la integración por partes sin éxito. Mi problema es que no entiendo bien la evaluación del límite del límite superior y este integrando.

Answer 1

Desde la redacción de la pregunta se modificó, mi primer anser no es válida. Así que, voy a publicar una nueva respuesta a la nueva redacción : \begin{equation} I(a,b) = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} (x-a)^{p-1} \, x^n \, dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} (b-x)^{p-1} \, x^n \, dx, \end{equation}

Acerca de la convergencia de la primera integral :

Desde $\quad p-1>-1\quad$ la integral es convergente en el límite inferior : $$\int_{a}^{X\to\: a} (x-a)^{p-1} \, x^n \, dx \sim a^n\frac{(X-a)^p}{p}$$ Esto es fácil de comprobar con el cambio de variable $\quad x=a+\epsilon$

Obviamente, no hay ningún problema de convergencia en el límite superior, en la medida en $b>a$. Así, no hay ningún problema de convergencia para la primera integral.

Acerca de la convergencia de la segunda integral :

Desde $\quad p-1>-1\quad$ la segunda integral es convergente en la parte superior de la envolvente : $$\int_{X\to \:b}^{b} (b-x)^{p-1} \, x^n \, dx\sim b^n\frac{(b-X)^p}{p}$$ Esto es fácil de comprobar con el cambio de variable $\quad x=b-\epsilon$

Obviamente, no hay ningún problema de convergencia en el límite inferior. Así, no hay ningún problema de convergencia para la segunda integral.

NOTA :

Estas integrales no puede ser expresado con un número finito de funciones elementales. Algunas de las posibles formas de resolver son :

• Cálculo numérico (sugerido para aplicaciones técnicas).

• Resolver en los términos de una serie infinita para la teoría y la serie limitada en la práctica.

• Solución en términos de funciones especiales : La Beta y Beta Incompleta funciones. $$I(a,b)=a^{n+p}\left(\text{B}_{\frac{a+b}{2a}}(n+1,p)- \text{B}(n+1,p)\right) + b^{n+p}\left( \text{B}(n+1,p)-\text{B}_{\frac{a+b}{2b}}(n+1,p)\right) $$

Answer 2

¿Por qué separar la integración en dos piezas? Si no he leído nada malo hemos estado integral como

$$ I(a,b) = \int_{a}^{b} (x-a)^{\alpha-1}x^ndx $$

Por favor me corrija si esto no es correcto. Entonces, por el cambio de variables (puede no ser necesario, pero por la facilidad de cálculo), y suponiendo que las $n$ es un entero, podemos escribir la integral anterior como

$$ I(a,b) = \int_{0}^{b} t^{\alpha-1}(t+a)^end $$

donde solía $t=x-a$. Utilizando el teorema del binomio $(t+a)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^ka^{n-k}$, podemos escribir $I(a,b)$

$$ I(a,b) = \int_{0}^{b} t^{\alpha-1}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^ka^{n-k}dt\implica \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{n-k}\int_{0}^{b}t^{k+\alpha-1}dt \\ \implica que I(a,b)= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{n-k}\frac{t^{k+\alpha}}{k+\alpha}|^{b}_0= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{n-k}\frac{(b-a)^{k+\alpha}}{k+\alpha} $$

Si $n$ es un número real, entonces la suma se convierte en infinito como se indica en el http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html. Quiero saber si hay algún error en mi derivación.

Answer 3

\begin{equation} I(a,b) = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} (x-a)^{p-1} \, x^n \, dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} (x-a)^{p-1} \, x^n \, dx \qquad 0<p<1. \end{equation}

Me pregunto si es un error tipográfico en la ecuación : ¿por Qué no simplemente escribió \begin{equation} I(a,b) = \int_{a}^{b} (x-a)^{p-1} \, x^n \, dx \qquad 0<p<1. \end{equation}

Suponiendo que $\quad b>a\quad$, de modo que $\quad (x-a)^{p-1}\quad$ ser real en el rango de $\quad a<x<b$

Desde $\quad p-1>-1\quad$ la integral es convergente en el límite inferior : $$I(a,b\to a)\sim a^n\frac{(b-a)^p}{p}$$ Esto es fácil de comprobar con el cambio de variable $\quad x=a+\epsilon$

Por otra parte, no veo ningún problema de convergencia en el límite superior, en la medida en $b>a$.

Para más cálculo, de la SUGERENCIA : La integral implica la función Beta Incompleta.

ATENCIÓN :

Como sospechaba, había un error en la inicial redacción de la pregunta.

El error fue corregido por las Matemáticas. Por lo tanto, Mi respuesta a la pregunta inicial, que ya no está más en consonancia con la nueva redacción.

De todos modos, la PISTA sigue siendo válido : El de las integrales implican la función Beta Incompleta.