¿Qué significa el rango de convergencia en las series de Maclaurin?

Question

He intentado calcular la siguiente serie de Maclaurin:

$$ f(x) = \sqrt{1+x^2} = 1+\frac{x}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}(1)(3)...(2n-3)}{2^n n!} $$

Con la prueba de relación, encontré que el rango de convergencia es $x\in(-1,1)$ :

$$ \lim_{n\to\infty} |\frac{x^{2(n+1)}(1)(3)...(2n-3)(2n-1)}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{2^{n}n!}{ x^{2n}(1)(3)...(2n-3)}| = \lim_{n\to\infty}|\frac{x^2 (2n-1)}{2(n+1)}| = x^2(<1) $$

Para mí, significa que las series de Maclaurin sólo convergen a una solución (y por tanto sólo son válidas) cuando $x\in(-1,1)$ . Sin embargo, como el $x$ en la función original $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ puede tomar cualquier valor ( $x\in\mathbb{R}$ ), la serie de Maclauin no puede darnos una solución cuando $x \leq -1$ o $x \geq 1$ . Este es el caso aunque la función original $\sqrt{1+x^2}$ puede tomar estos valores. ¿Es correcta mi interpretación?

Edición: Limitemos nuestra discusión a $x \in \mathbb{R}$ . Gracias.

Answer 1

El análisis es correcto. La función $\sqrt{1+x^2}$ tiene la representación en serie

$$\sqrt{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}{n}x^{2k} \tag 1$$

que es válido para $|x|\le 1$ donde

$$\binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{(n!)^2\,4^n\,(2n-1)}$$

La serie en $(1)$ diverge para $|x|>1$ .

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Obsérvese que podemos desarrollar con bastante facilidad una representación en serie que sea válida para $|x|\ge 1$ escribiendo $\sqrt{1+x^2}=|x|\sqrt{1+x^{-2}}$ . Entonces, tenemos

$$\sqrt{1+x^2}=|x|\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}{n}x^{-2k} \tag 2$$

que es válido para $|x|\ge 1$ . La serie en $(2)$ diverge para $|x|<1$ .

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NOTA: Convergencia en los puntos finales

Una forma de demostrar que la serie en $(1)$ y $(2)$ convergen en $|x|=1$ es utilizar La fórmula de Stirling

$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)$$

Entonces, vemos que

$$\begin{align} \binom{1/2}{n}&\sim (-1)^{n-1}\frac{\sqrt{2\pi (2n)}\left(\frac {2n}{e}\right)^{2n}}{(2\pi n)\left(\frac {n}{e}\right)^{2n}4^n(2n-1)}\\\\ &=\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{\pi n}(2n-1)} \end{align}$$

Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{\pi n}(2n-1)}$ converge absolutamente.