Análisis funcional-Gráfico cerrado.

Question

Vamos $ X$, $ Y$, $ Z$, ser espacios de Banach y deje $ T:X\to Y $ $ S:Y\to Z $ ser transformaciones lineales.Supongamos que $S$ es limitado y inyectiva y que $ S \circ T $ está acotada.Demostrar que $T $ está acotada.

Así que ahora, $ S \circ T :X \to Z $

tomar cualquier $ x\in X $

Desde $ S \circ T $ es acotado, $ \|S \circ T(x)\| \leqslant\|S \|\cdot\|T \|\cdot\|x \| $ y desde $ S $ es limitada $\exists$ $ M>0 $ s.t $ \|S\|\leqslant M $.

¿Cómo puedo utilizar estos resultados para demostrar que $T$ es limitada? Esto se da como una aplicación de cerrado gráfico teorema.Entonces, ¿cómo podemos utilizar para resolver el problema.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

Deje que$\{x_n\}$ una secuencia que converja a$0$ y que$Tx_n\to y\in Y$. Como$S$ está delimitado,$STx_n\to Sy$ y como$ST$ está delimitado,$STx_n\to 0$. Entonces$Sy=0$, y por inyectividad$y=0$, demostrando que la gráfica está cerrada.

Answer 2

Desde $S$ es inyectiva es un bijection en su imagen $S(Y) \subseteq Z$ y por lo tanto tiene una bien definida inverso $S^{-1} : S(Y) \to Y$. Entonces

$$T = \left( X \xrightarrow{S \circ T} (S \circ T)(X) \hookrightarrow S(Y) \xrightarrow{S^{-1}} Y \right) = S^{-1} \circ (S \circ T)$$

Por la limitada inversa teorema, que es equivalente a la cerrada gráfico teorema, $S^{-1}$ está acotada. Y $S \circ T$ está delimitado por la hipótesis.

Yo se lo dejo a usted para finalizar la prueba.

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Si esto parece demasiado complicado, sólo pretende (sin pérdida de generalidad) que $S$ es bijective y que $Z=S(Y)$. Esto está bien porque en ninguna parte de la prueba son los elementos de $Z \setminus S(Y)$.