¿Por qué necesitamos la ecuación de un par de rectas?

Question

Estaba estudiando sobre las rectas en geometría de coordenadas y me encontré con este tema llamado "par de rectas". Empezaba en mi libro directamente con "Si multiplicamos la ecuación de dos rectas la ecuación algebraica resultante debe ser satisfecha por los puntos de ambas rectas." No entiendo por qué tuvimos que iniciar este concepto. ¿Para qué sirve? ¿Y qué significa esa ecuación de dos grados?

Si no recuerdas este concepto, aquí tienes algo para recordártelo.

Si tenemos dos líneas $p_1x+q_1y+r_1=0$ y $p_2x+q_2y+r_2=0$ entonces la ecuación del par de rectas viene dada por $$(p_1x+q_1y+r_1)(p_2x+q_2y+r_2)=0$$ Si resolvemos esta ecuación obtenemos una ecuación de dos grados en forma de $$ax^2+by^2+2hxy+2fx+2gy+c=0$$ Aquí es algo para asegurarse de lo que estoy hablando.

Supongo que este concepto es igualmente aplicable a las secciones cónicas. Si estoy en lo cierto, espero que no haya mucho que discutir sobre su uso después de haberlo hecho con las rectas.

Answer 1

La ecuación general representa un par de rectas si $abc+2fgh=af^2+bg^2+ch^2$ por lo tanto es una parte de las cónicas y con una ecuación homogénea de segundo grado se puede encontrar el punto de intersección de la cónica con una recta utilizando la diferenciación parcial que es un método muy corto y agradable.