convergencia uniforme de pocas secuencias de funciones

Question

Elegir las secuencias $\{f_n\}$ que son uniformemente convergentes.
(a) $f_n(x) = nxe^{nx}$ en $(0,)$ .

(b) $f_n(x) = x^n$ en $[0, 1]$ .

(c) $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ en $\mathbb{R}$ .

(d) $f_n(x)=\frac{nx}{1 + nx}$ en $(0,1)$

(e) $f_n(x) = _{n=1}^\frac{n\sin(nx)}{e^n}$ en $[0,\pi]$

(f) $f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^n}$ en $[0, 2]$

(g) $f_n(x) = \sin^nx$ en $[0,\pi/2)$

(h) $f_n(x) = (x^n/n)+1$ en $[0,1)$

(i) $f_n(x) = \frac{1}{1+(x-n)^2}$ en $(-,0)$

(j) $f_n(x) = \frac{1}{1+(x-n)^2}$ en $(0, )$

(a) Aquí la función se convierte en $nx/e^{nx}$ que tiende a $0$ como $n$ tiende a $$ por lo que la función es uniformemente continua. Sin embargo, no estoy seguro.
(b) Aquí la función límite no es continua por lo que no es uniformemente continua
(c) cierto por la misma razón que (a) (d) falso como $n$ tiende a $$ the function tends to $ 1$ no cero.
(e) ni idea (f) falso porque la función límite no es continua (g) verdadera por la prueba M (h) verdadero por la prueba M (i) ni idea (j) ni idea

Puede alguien guiarme correctamente por favor

Answer 1

A técnica relacionada . Tenga en cuenta que, para (e), puede utilizar la función Prueba M de Weierstrass ya que

$$\left| \frac{n\sin(nx)}{e^n} \right| \leq \left| \frac{n}{e^n} \right|=\frac{n}{e^n}, $$

y

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^n} < \infty. $$

Nota: si

$$\lim_{ n \to \infty}f_n(x)=f(x) \quad\mathrm{ and } \quad \sup| f_n(x)-f(x) | < \epsilon, $$

entonces la secuencia converge uniformemente.

Para (j), observa que, $f_n(x)\to 0$ para $x\neq n$ y $f_n(x)\to 1$ para $x = n$ lo que implica

$$ \sup |f_n(x)-f(x)| =1 \nless \epsilon. $$

Answer 2

Usted necesita revisar su definición de una convergencia uniforme : $f_n$ converge uniformemente a $f$ si para cada $\epsilon>0$ existe un número entero $N$ tal que si $n\ge N$ tenemos $|f_n-f|<\epsilon$

El criterio de Cauchy para la convergencia uniforme es el siguiente $fn$ converge a alguna función $f$ uniformemente si y sólo si para cada $\epsilon>0$ existe un número entero $N$ tal que si $m>n\ge N$ tenemos $|f_m-f_n|<\epsilon$ . En (b) no quieres decir que como la función límite no es continua entonces la secuencia no converge uniformemente

En (d) eso no implica que la secuencia no sea uniformemente convergente muestra que la función límite es $1$ , ahora hay que utilizar la primera definición para ver si es uniformemente convergente a 1 o no.

Answer 3

La idea general es fijar cada $x$ y que $n$ llega hasta el infinito. Entonces se obtiene una función $f$ que es el límite de $f_n$ por puntos. Después puede utilizar la prueba de Weierstrass-M para $f_n$ .

Para (a), la función límite puntual es $0$ y se calcula el valor máximo de cada $f_n$ y descubrirás que los valores máximos van a $0$ por lo que para cualquier $\varepsilon$ puede obtener un cierto $N$ tal que cuando $k>N$ , $f<\varepsilon$ para cualquier $x$ en $(0,\infty)$ .

Para (b), debes saber que cualquier límite de funciones uniformemente convergentes es continuo si $f_n$ son continuas.

(c) es el mismo planteamiento que (a), y ahora sabes que $\sin(t)$ está acotada para cualquier t.

(d) no lo es porque para cada $x$ la función límite que se obtiene debe ser 1, sin embargo, para cualquier n dado, se puede elegir $x=\frac{1}{n}$ para que $f_n(x)=\frac{1}{2}$ contradicción.

Para (e), necesitará el Criterio de Abel, que trata de $\sum_{1}^{\infty}{f_n \times g_n}$ donde $f_n$ es decreciente y converge a $0$ y $\sum g_n$ está limitada. Entonces se puede decir $\{f_ng_n\}$ es uniformemente convergente.

(f) (g) (h) es tal y como has dicho, y el planteamiento es similar a las soluciones anteriores.

Para (i) también debes usar la aproximación de (a), y descubres que es uniformemente convergente.

Para(j) elige $x_n=n$ para cada $n$ y descubres que es 1, que no converge a la función límite puntual $0$ .