Muestran que

Question

Mostrar que$$\frac{1}{3}<\int_0^1\frac{1}{1+x+x^2}\,dx <\frac{\pi}{4}$ $

Quiero usar si$f<g<h$ entonces$\int f<\int g<\int h$ fórmula para la integración de Riemann.

$1+x^2<1+x+x^2$ y dará RHS como$$\frac{1}{1+x+x^2}<\frac{1}{1+x^2}$ $ Cómo elegir la función$f$ y$h.$

Answer 1

Para$0< x< 1$ tiene:$1+x^2<1+x+x^2<3$. Por lo tanto$$\frac{1}{3}=\int^{1}_0\frac{1}{3}\,dx<\int^1_0\frac{1}{1+x+x^2}\,dx<\int^1_0\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)\Big|^1_0=\frac{\pi}{4}$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que para$x\ge0$,$1+x\le x^2+x+1\le(x+1)^2$.

Por lo tanto, tenemos

PS

Los cuales proveen límites mas estrechos a los que fueron solicitados.

Answer 3

Quieres mostrar$$\frac{1}{3}<\int_0^1\frac{1}{1+x+x^2}dx <\frac{\pi}{4}$ $

Tenga en cuenta que para$0<x<1$ tenemos$$ 1+x^2 < 1+x+x^2 <3 $$ Thus $$ \frac {1}{3} < \frac {1}{1+x+x^2}< \frac {1}{1+x^2}$ $

Tras la integración obtenemos$$\frac{1}{3}=\int^{1}_0\frac{1}{3}\,dx<\int^1_0\frac{1}{1+x+x^2}\,dx<\int^1_0\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)\Big|^1_0=\frac{\pi}{4}$ $

Answer 4

Un límite superior mejor: por la convexidad del integrando en$[0,1]$:$$\forall x\in[0,1]:\qquad\frac1{1 + x + x^2}\le 1 - \frac{2x}3,$ $ y esto implica$$\int_0^1\frac{1}{1+x+x^2}dx\le\int_0^1(1 - 2x/3)\,dx = \frac23.$ $

Answer 5

Enfoque alternativo: para cualquier $x\in(0,1)$ hemos $$ \frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3}=(1-x)\sum_{n\geq 0}x^{3n}=\sum_{n\geq 0}x^{3n}-x^{3n+1} \tag{1}$$ por lo tanto $$ \mathcal{J}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x+x^2} = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n+1)(3n+2)} \tag{2}$$ y la serie en el lado derecho de la $(2)$ puede ser aproximado a través de la Hermite-Hadamard la desigualdad, ya que $g(x)=\frac{1}{(3x+1)(3x+2)}$ es convexa en a $\mathbb{R}^+$. Tenemos $$ \frac{1}{2}+\frac{1}{20}+\int_{2}^{+\infty}g(x)\,dx\leq \mathcal{J}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{20}+\int_{3/2}^{+\infty}g(x)\,dx \tag{3}$$ $$\frac{11}{20}+\frac{1}{3}\log\left(1+\frac{1}{7}\right)\leq \mathcal{J}\leq \frac{11}{20}+\frac{1}{3}\log\left(1+\frac{2}{11}\right)\tag{4}$$ de manera que la distancia entre el $\mathcal{J}$ $\frac{3}{5}$ es en la mayoría de las $\frac{1}{100}$.
(2) y la reflexión de la fórmula para el $\psi$ función implica $\mathcal{J}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$, la cual puede ser demostrado mediante acaba de completar el cuadrado, demasiado. Otro enfoque interesante es creativo telescópico: $$\begin{eqnarray*}\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}&=&\frac{1}{2}+\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{9(n+1)}-\frac{1}{9(n+2)}-\frac{2}{(3n+3)(3n+4)(3n+5)(3n+6)}\right)\\&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{9}-\frac{1}{180}-2\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n+6)(3n+7)(3n+8)(3n+9)}\end{eqnarray*} $$ también conduce a la aceleración de la serie $\mathcal{J}=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}$.