El espectro-funcionario $$ \operatorname{Spec}: \mathbf{cRng}^{op}\to \mathbf{Set} $$ envía un anillo (unital conmutativo) $R$ al conjunto $\operatorname{Spec}(R)=\{\mathfrak{p}\mid \mathfrak{p} \mbox{ is a prime ideal of R}\}$ y un morpshim $f:S\to R$ al mapa $\operatorname{Spec}(R)\to \operatorname{Spec}(S)$ con $\mathfrak{p}\mapsto f^{-1}(\mathfrak{p})$ . ¿Este functor envía plazas de pullback \begin{eqnarray} S\times_R T&\to& T\\ \downarrow && \downarrow\\ S&\to& R \end{eqnarray} de los anillos (unital conmutativo) a los cuadrados de empuje \begin{eqnarray} \operatorname{Spec}(R)&\to& \operatorname{Spec}(T)\\ \downarrow && \downarrow\\ \operatorname{Spec}(S)&\to& \operatorname{Spec}(S\times_R T) \end{eqnarray} de conjuntos? Dicho de otro modo, ¿el functor $\operatorname{Spec}$ desde arriba preservar los empujes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Retrocesos en $\mathbf{CRing}$ no van necesariamente a los empujones en $\mathbf{Sch}$ o $\mathbf{Set}$ . Considere la construcción de $\mathbb{P}^1_k$ : en $\mathbf{Sch}$ (resp. $\mathbf{Set}$ ), tenemos el siguiente cuadrado de empuje, $$\require{AMScd} \begin{CD} \mathbb{A}^1_k \setminus \{ 0 \} @>>> \mathbb{A}^1_k \\ @VVV @VVV \\ \mathbb{A}^1_k @>>> \mathbb{P}^1_k \end{CD}$$ pero si los retrocesos en $\mathbf{CRing}$ ir a los empujones en $\mathbf{Sch}$ (resp. $\mathbf{Set}$ ), eso implicaría que $\mathbb{P}^1_k \cong \operatorname{Spec} k$ Lo cual no tiene sentido.
Será cierto si los dos mapas que estás empujando a lo largo son incrustaciones cerradas. También será cierto si uno de los mapas es un engrosamiento infinitesimal (= una incrustación cerrada que induce un isomorfismo en los subesquemas cerrados reducidos). Este tipo de cosas son útiles en la teoría de la defromación. En general, deberías ser capaz de encontrar contraejemplos con bastante facilidad.
