¿Cómo mostrar que un conjunto dado es un espacio vectorial?

Question

Estoy teniendo algunos problemas con este problema en mi libro de texto de Álgebra Lineal. El objetivo es mostrar que el conjunto dado, W es un espacio vectorial, o para encontrar un ejemplo de lo contrario:

\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{bmatrix} : \begin{matrix} 3a + b = c\\ a + b + 2c = 2d \end{de la matriz} \end{Bmatrix}

Puedo entender las propiedades básicas de los Espacios Vectoriales, tales como tener a contener el vector cero, de ser cerrado bajo la suma, y de ser cerrado bajo la multiplicación escalar. No tengo problema en probar cuando estos conjuntos son no espacios vectoriales, por ejemplo si no contienen el vector cero.

Este conjunto parece contener el vector cero (si se conecta en 0 para a, b, c, y d, las ecuaciones son consistentes). Pero no estoy muy seguro de cómo probar que este conjunto es un espacio vectorial, o cómo demostrar que es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si tiene un vector que satisface las dos restricciones, entonces al multiplicar por$k$ obtiene$$3a+b=c \implies 3(ka)+(kb)=(kc)$$ $$ a + b + 2c = 2d \implies (ka) + (kb) + 2(kc) = 2(kd)$$ so you have closure under scalar multiplication. Similarly for addition $$3a_1+b_1=c_1 \text{ and }3a_2+b_2=c_2 \\ \implies 3(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=(c_1+c_2)$$ $% PS

Answer 2

Verifique todas las condiciones que definen un espacio vectorial uno por uno. Por ejemplo, debe verificar que si$u$ y$v$ son dos vectores que satisfacen las ecuaciones dadas y si$\alpha$ es una constante (un elemento del campo subyacente), entonces$\alpha \times u$ es una solución y$u+v$ es una solución.