Convergencia en un espacio métrico

Question

¿Es posible definir una métrica en $ \mathbb R$ de tal manera que $(1,0,1,0,...)$ converge en $( \mathbb R, d)$ ?

Creo que es imposible. ¿Pero cómo mostrarlo analíticamente? Cualquier pista sería apreciada.

Answer 1

Supongamos que para una determinada métrica $d$ su secuencia converge a $g\in\mathbb{R}$ . Entonces su subsecuencia par también converge a $g$ pero converge a $0$ así $g=0$ Del mismo modo, considerando la subsecuencia impar se demuestra que $g=1$ lo que da una contradicción.

Answer 2

Creo que no.

Si la distancia es d, para todos $N$ tiene d distancia entre los miembros, por lo que no N para $n>N$ menor que la distancia $\epsilon$ . Así que no es convergente.

Answer 3

Con más detalle que mi comentario. Un espacio métrico es Hausdorff, por lo que dado $x_n\to 1$ sabes por $n>N(\epsilon)$ que $d(1,x_n)<\epsilon$ así que elige

$$\epsilon = {d(0,1)\over 2}>0$$ .

Answer 4

Pista: Mira las subsecuencias impar/par. ¿Qué sabemos sobre los límites de las sucesiones de una sucesión convergente?

Pista alternativa: ¿Es Cauchy?

Answer 5

Si la secuencia converge, entonces cualquier subsecuencia de la misma converge al mismo límite. Esto se puede demostrar fácilmente para cualquier espacio métrico. Cualquier sucesión constante converge a su elemento repetido. Esto también se cumple en cualquier espacio métrico. Ahora se deduce que la sucesión que sugieres nunca puede converger bajo ninguna métrica en $\mathbb R$ . Más es verdad. Dada cualquier secuencia alterna (o más generalmente, cualquier secuencia que contenga dos subsecuencias constantes distintas), bajo ninguna métrica en el conjunto ambiente convergerá la secuencia.