Interesantes ejemplos de relación entre la función continua y la continua.

Question

(a)$f$ es continuo ae en [0,1]

(b) Existe$g$ continuo en$[0,1]$ tal que$g=f$ ae

¿Cómo probar que (a)$\nRightarrow$ (b) y (b)$\nRightarrow$ (a)?

Creo que se puede probar con ejemplos contrarios.

La función de Cantor es un ejemplo para (a)$\nRightarrow$ (b), ¿verdad?

Luego, me quedé atascado por el contraejemplo de (b)$\nRightarrow$ (a).

¿Podría alguien amablemente ayudar? ¡Gracias!

Answer 1

Para ver que b no implica a, pruebe la función de indicador de los racionales. Es discontinuo en todas partes y es igual a la función cero.

Para ver una prueba de que la función de indicador de los racionales es discontinua en todas partes, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_continuous_function

Answer 2

Tome cualquier función con una sola discontinuidad no extraíble. Ese es el ejemplo más simple, por ejemplo,$f(x)=x, x<1/2 , f(x)=x+1 , x \geq 1/2$.