Encuentre una función armónica en la cubierta cilíndrica entre$r=a$ y$r=b$

Question

Calcular el $\phi$, la satisfacción de $\nabla^2 \phi=0$ entre los dos cilindros $r=a$, en el que $\phi=0$, e $r=b>a$, en el que $\phi=V$.

Tengo que calcular y encuentra la solución es $$\phi=\frac{V}{\log b-\log a}\log r-\frac{V}{\log b-\log a}\log a.$$ sin Embargo, no estoy seguro de si es lo correcto.

En realidad, estoy teniendo problemas en determinar su dimensión. Es $2$ o $3$ si utilizo la siguiente fórmula: $v(r)=b\log r +c$, cuando $n=2$; $v(r)=\frac{b}{r^{n-2}}$, al $n\ge3$?

Pero todos ellos parecen no a la derecha, ya que este es un radialmente simétrica de la condición de límite. En este caso, no es radialmente simétrica.

Podría alguien amablemente me ayude a mirar? Gracias!

Answer 1

Si la función se considera constante a lo largo de una dirección, entonces la función sólo debe ser armónico en las otras direcciones transversales. Por ejemplo, si estamos trabajando en $\mathbb{R}^3$ y el cilindro se extiende en el $z$ dirección, entonces debemos buscar algunas de las $\phi(x,y,z)=\phi(x,y)$ (que es, en realidad no dependiendo $z$) y, a continuación,$\nabla^2 \phi=\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial y^2}$. Por esta razón, podemos pensar en el problema como se indica en $\mathbb{R}^2$ y la solución que propones es correcto, a pesar de que conseguir un 'cilíndrica' y no un 'esférico' uno (si debemos lidiar con el esférico función, se tomaría $n=3$).

Espero que estas observaciones son útiles.

Answer 2

Consulte la sección 6 de http://www.ewp.rpi.edu/hartford/~ernesto/F2004/IFEM/Notes/w03.pdf . Es lo más general que se puede obtener de Laplace en un cilindro.