¿Cómo se puede resolver esta desigualdad cúbica? (2015 A-nivel de papel)

Question

Estoy tratando de completar la siguiente pregunta (de la AQA de junio de 2015 FP1 UN nivel de papel):

Por primera búsqueda de un adecuado cúbicos de la desigualdad de la $k$, encontrar el mayor valor de $k$ para los que $$\sum_{r=k+1}^{60} (3r+2) \log_8 4^r$$ es mayor que 106060.

El "adecuado cúbicos desigualdad" se refiere a esto:

$$2k^3 + 5k^2 + 3k - 132000 \lt 0$$

y el valor final de a $k$ es de 39 (desde $k$ debe ser un entero para ser utilizado en la suma), pero no puedo ver cómo llegar de la desigualdad a la solución.

Mi estrategia típica para este tipo de pregunta es para formar una ecuación igual a 0 en el fin de encontrar las raíces:

$$2k^3 + 5k^2 + 3k - 132000 = 0$$

pero en este caso, que no parece ayudar, ya que es un cúbicos, no una ecuación cuadrática. Si era una ecuación cuadrática, sería sencillo para encontrar las raíces a través de la fórmula cuadrática, entonces se forma una desigualdad o dos con $k$, y de determinar el mayor valor posible de $k$ a partir de allí, pero no tengo idea de cómo encontrar las raíces de un cúbicos. El término constante también impide que la división por $k$ para formar una ecuación cuadrática.

Se siente como que me estoy perdiendo algo realmente obvio, disculpas si ese es el caso.

Answer 1

Sugerencia: tomará algunas conjeturas, ya que el cúbico no tiene raíces racionales y la solución debe ser un número entero. Dado que$2k^3 \lt 2 k^3 + 5 k^2 + 3k \lt 132000$ sigue que$k \lt \sqrt[3]{132000/2}\,$$= 10 \sqrt[3]{66}\,$$\simeq 40.4\,$. El primer intento$k=40$ no satisface la desigualdad, pero luego funciona el siguiente valor inferior$k=39$.

Answer 2

Tenga en cuenta que todos los coeficientes, excepto la constante, son positivos, por lo que si desea la raíz real positiva más grande de$f(k) = 2k^3 + 5k^2 + 3k - 132000$, es suficiente utilizar límites aproximados; por ejemplo,$$2k^3 + 5k^2 + 3k \le 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = 2(k+1)^3,$$ hence $ k \ le (66000) ^ {1/3} - 1 = 10 (66) ^ {1/3} - 1$. A calculator gives this as $ k \ le 39$, after which point we can test $ k = 40$ reasonably easily and determine $ f (40)> 0$. Calculating $ f (39)$ seems harder, but it's not too bad, since we can write $$f(k) = 2(k+1)^3 - (k+1)(k+2) - 132000 = k(k+1)(2k+3) - 132000,$$ hence $$f(39) = 39(40)(83)-132000 = -2520.$ $

Si no está satisfecho con la idea de usar una calculadora para calcular$66^{1/3}$, también podemos hacer un cálculo aproximado:$$4^3 = 64 < 66 < 68.921 = (4.1)^3,$$ hence $ 4 <66 ^ {1/3} <4.1 PS