Muestre que hay un polinomio de$n$ - th grado$p(x)$ tal que$||f(x)-p(x)||_\infty \leq ||f(x)-q(x)||_\infty$.

Question

Demostrar que para cada una de las $f \in C[0,1]$ hay un $n$-ésimo grado del polinomio $p(x)$ a $[0,1]$ tal que $||f(x)-p(x)||_\infty \leq ||f(x)-q(x)||_\infty$ para cualquier otro $n$-ésimo grado del polinomio $q(x)$.

Esto es similar al siguiente

Si $A \subseteq (X,||\cdot||)$ es compacto y no vacío, entonces para cada a$x \in X$ hay algo de $y_0 \in A$ tales que $$||x-y_0||=\inf\{||x-y||: y \in A\}$$

Sin embargo, el conjunto de $n$-ésimo grado del polinomio es finito-dimensional (de ahí cerrado), podemos probar el es compacto?

Answer 1

Teorema (Distancia entre los conjuntos compactos): Vamos a $(X,d)$ ser algunos de espacio métrico, $A,B\subset X$ ser no vacío y compacto. Luego hay $x\in A$ e $y\in B$con $$d(x,y)=d(A,B).$$

Aquí, la distancia entre dos conjuntos de $P,Q\subset X$ se define como

$$d(P,Q) = \inf_{x\in P, y\in Q}d(x,y).$$

Prueba: Vamos a $(x_n,y_n)_{n\in\Bbb N}\subset A\times B$ ser reducir a un mínimo la secuencia, dicen

$$d(A,B) \leqslant d(x_n,y_n) < d(A,B)+\frac1n.$$

Debido a $A$ es compacto, existe una larga $(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ que es convergente, digamos, a $x\in A$.
Debido a $B$ es compacto, existe una larga $(y_{n_{k_j}})_{j\in\mathbb N}$ que es convergente, digamos, a $y\in B$.

Entonces, como $j\to\infty$ vemos de

$$d(A,B) \leqslant d\left(x_{n_{k_j}},y_{n_{k_j}}\right) < d(A,B)+\frac1{{n_{k_j}}}$$

que $d(x,y) = d(A,B)$. $\square$

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Vamos a utilizar el teorema de con $A = \{f\}\subset C[0,1]$. Para $B$, vamos a $P_n\subset C[0,1]$ ser el subconjunto de $n$-grado de los polinomios. Elija cualquiera de los $q\in P_n$ y considerar la posibilidad de $B = \overline{\mathcal B(f,\lVert q\rVert)}\cap P_n$.

Basta comprobar que $B$ es compacto. Para ello, observe que $P_n$ es un cerrado, finito-dimensional subespacio de $C[0,1]$, por lo que $B$ es la intersección de dos conjuntos cerrados y, por tanto, cerrada. Por otra parte, $B$ es por la construcción limitada, por lo que es un circuito cerrado y limitado subconjunto de un finito-dimensional normativa espacio, y por lo tanto compacto.

El teorema se va a producir algunas de las $p$ que minimiza la distancia a $f$ sobre $B$. Puede usted ver por qué $p$ minimiza la distancia, sobre todo de $P_n$? (Use la desigualdad de triángulo!)