¿Cómo resolver la ecuación diferencial parcial $u_{xx}=4u_{tt}$?

Question

Esto es, básicamente, la primera ecuación diferencial parcial estoy resolver por mí mismo (acabamos de empezar PDE) y necesito un poco de ayuda.

Aquí está la pregunta:

Determinar la solución de $$u_{xx}=4u_{tt}$$ where $t>0$ and $x > \en(0,1)$. La inicial de condiciones son:

$u(x,0)=2+\sin{2\pi x} \\ u_t(x,0)=-x^2-5x+3 \\ u(0,t)=2+3t \\ u(1,t)=2-3t$

Yo, básicamente, seguido de la "guía" en este video el Dr. Chris Tisdell: ENLACE

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Asumir una solución: $u(x,t)=X(x)T(t)$

$$ \implies\begin{aligned} \ & u_x(x,t)=X'(x)T(t) \\ & u_t(x,t)=X(x)T'(t) \\ & u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t) \\ & u_{tt}(x,t)=X(x)T''(t)\end{aligned}$$

Sustituyendo en el original de la PDE:

$$\begin{aligned} \ & \implies 4X(x)T''(t)=X''(x)T(t) \\ & \iff \frac{4T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}\end{aligned}$$

Debido a que el LHS y RHS sólo dependen de la $t$ $x$ respectivamente, estos términos deben ser constantes:

$$\implies \frac{4T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\gamma=const.$$

El PDE, que ahora pueden convertir a dos de segundo orden del ODE:

$$\implies \begin{aligned}\ & 4T''-\gamma T=0 \\ & X''-\gamma X=0 \end{aligned}$$

La solución de la segunda ecuación de la primera: $X''-\gamma X=0$. El polinomio característico es $\lambda^2=\gamma$

$$\implica X(x) = \begin{cases} Ax+b, & \text{if %#%#%, roots are real and equal} \\ Ae^{\sqrt{\gamma}x}+Be^{\sqrt{\gamma}x}, & \text{if %#%#%, two real distinct roots} \\ A \cos{(\sqrt{-\gamma }x)}+B \sin{(\sqrt{-\gamma}x)} , & \text{if %#%#%, complex roots} \end{casos}$$

Ahora quiero conectar y examinar algunos de los boundry condiciones:

$\gamma=0$$

En el vídeo que he enlazado más arriba, la boundry condiciones eran iguales a cero, lo que hizo posible la conclusión de que la $\gamma>0$$\gamma<0$. Pero aquí mi boundry condiciones de igualdad a una función. Qué hago aquí?

Estoy interesado en cualquier sugerencias, consejos, soluciones completas o referencias que me puede ayudar a solucionar esto. Gracias!

Esta es una continuación de mi respuesta:

Como sugiere una respuesta he utilizado la sustitución: $$\begin{aligned} \ & u(0,t)=2+3t=X(0)T(t) \\ & u(1,t)=2-3t=X(1)T(t)\end{aligned}$$

Conectado en el original de la PDE, me sale:

$X(0)=0$$

Continué con mi separación de variables enfoque y trató de encontrar una solución para el segundo orden de la ecuación diferencial ordinaria: $X(\pi)=0$$

El uso de mi nuevo boundry condiciones y buscando en los casos que obtengo:

Caso 1: $$v(x,t)=u(x,t)-(2+3t)(1-x)-(2-3t)x$

Caso 2: $$v_{xx}=4v_{tt}$

Caso 3: $$X''(x)-\gamma X=0$

Así que en este caso será una solución para todas las $X(x)=Ax+B \implies A=0, B=0 \implies \text{ignore because trivial solution}$

Es mi cálculo correcto?

Answer 1

Sugerencia: Considerar $$v(x,t) := u(x,t) -(2+3t)(1-x)-(2-3t)x$$ Tenga en cuenta que $$v(0,t) = u(0,t) -(2+3t)(1-0)-(2-3t)(0)=(2+3t)-(2+3t) = 0$$ $$v(1,t) = u(1,t) -(2+3t)(1-1)-(2-3t)(1)=(2-3t)-(2-3t) = 0$$

Así que tenemos cero las condiciones de contorno para $v(x,t)$. Viene con esta función $v$ incluye un poco de ensayo y error. Este no es el único candidato para $v$, sin embargo, es probablemente el más simple.

1) he adivinado por saber que el objetivo final es llegar a 0 las condiciones de contorno. El $(1-x)$ $(x)$ términos están estratégicamente colocadas para eliminar a todo un soporte al $x = 1$ $0$ respectivamente.

2) se permite como ahora vamos a resolver un nuevo PDE en $v$. A ver lo de la PDE $v$ satisface, tenemos que sustituir $u = v - r(x,t)$ en el PDE, donde $r(x,t) = -(2+3t)(1-x)-(2-3t)x$.

Para continuar:

Sustituimos $ u = v - r(x,t)$ en el original de la PDE donde $r$ es descrito más arriba.

$$(v - r)_{tt}=4(v-r)_{xx}\Rightarrow v_{tt}-r_{tt} = 4v_{xx}-4r_{xx}$$ Tenga en cuenta que $$r_{tt} = 0,r_{xx} = 0$$ Así tenemos $$v_{tt} = 4v_{xx}$$

Y las nuevas condiciones de contorno son $$v(0,t) = 0, v(1,t) = 0$$ Y las condiciones iniciales son $$v(x,0) = u(x,0)-r(x,0)$$ $$ v_t(x,0) = u_t(x,0)-r_t(x,0)$$

Ahora $u(x,0)-r(x,0)$ $u_t(x,0)-r_t(x,0)$ conocen y yo le dejo a usted para calcular.

Ahora usted puede solucionar el PDE para $v$ como lo haría normalmente y cuando usted tiene la $0$ condiciones de contorno que se desea. Cuando usted tiene la solución para $v$ usted puede fácilmente obtener la solución para $u$ desde

$$u(x,t) = v(x,t)-r(x,t)$$

Algunas observaciones sobre su respuesta:

En el caso 3 se deben sustituir a las $\sin$ e $\cos$ con $\sinh$ e $\cosh$ respectivamente. Esto le llevará a la conclusión de que la única solución es $A,B = 0$

En el caso 2 se debe tener $$ X = A\cos(\sqrt{\gamma}x)+B\sin(\sqrt{\gamma}x)$$

Vemos que $A = 0$ pero $B\neq 0$ cuando $\sqrt{\gamma}\cdot 1 = 2\pi n$ $$\Rightarrow \gamma = (2\pi n)^2, n = 1,2,3,...$$

Así que tenemos la eigenfunction es, $\sin({\sqrt{\gamma}x})$.