Regularidad de $\nu $ para $g \in L^1 (\mu) $ y $d\nu = g d\mu $

Question

Supongamos que $\mu $ es una medida regular positiva en Baire $ \sigma$ -de un espacio Hausdorff localmente compacto $ S $ , $ 0\leq g \in L^1 (\mu) $ y $$\lambda (E)= \int_E g d\mu $$ entonces $\lambda$ también es una medida positiva. ¿Podemos decir que $\lambda $ ¿es una medida regular?

Answer 1

Sí, podemos. Deja que $A \subset S $ sea Borel y $\epsilon >0$ . Debido a $g \in L^1 (\mu) $ , hay $\delta >0$ con $\int_E |g|d\mu <\epsilon $ tan pronto como $\mu (E)<\delta $ . Una forma de ver esto es aproximar $g $ por funciones escalonadas.

Dejamos que $E_n= \{x \mid g (x)\geq 1/n\} $ . Tenga en cuenta que $\mu (E_n)<\infty $ para todos $n $ y $\nu (A)=\lim_n \nu (A \cap E _n) $ . Así, para $n $ grande, tenemos $\nu (A\cap E_n)>\nu (A)-\epsilon $ .

Por la regularidad de $\mu $ hay un compacto $K\subset A\cap E_n \subset A $ con $\mu ((A\cap E_n)\setminus K)<\delta $ . Por lo tanto, $\nu ((A\cap E _n)\setminus K)<\epsilon $ , lo que fácilmente da como resultado $\nu (A\cap E_n)<\nu (K)+\epsilon $ .

Esto demuestra la regularidad interna de $\nu $ . Pero para finito medidas, tomando complementos, no es difícil demostrar que la regularidad interna implica la regularidad externa.