Baire: Demuestre que $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un polinomio en un conjunto abierto acotado

Question

Dejemos que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función infinitamente diferenciable, y supongamos que para cada $x\in\mathbb{R},$ $\exists\ n=n(x)\in\mathbb{N}$ tal que $f^{(n)}(x)=0$ . Para cada uno de los fijos $n\in\mathbb{N}$ , considere los conjuntos $F_n=\{x\in\mathbb{R} : f^{(n)}(x)=0\}$ y que $I=[a,b]$ un intervalo cerrado finito.

1. Demostrar que $$I=\bigcup_{n=0}^\infty(I\cap F_n).$$
2. Demuestre que existe un conjunto abierto no vacío $A\subset I$ donde $f$ es un polinomio.

Mi intento:

1. Si $x\in I$ entonces por hipotesis hay $n$ tal que $f^{(n)}(x)=0$ entonces $x\in F_n$ entonces $\bigcup F_n\supset I$ entonces $$I=I\cap\bigcup_{n=0}^\infty F_n=\bigcup_{n=0}^\infty(I\cap F_n).$$

2. Dejemos que $$B_k=\bigcap_{n=k}^\infty F_n.$$ Quiero demostrar que $I\cap B_k$ tiene un interior no vacío para algún $k\in\mathbb{N}$ . Luego está $A\subset B_k$ y por Teorema de Taylor $f$ será un polinomio. Pero no sabía cómo demostrar esto. Intenté usar el siguiente conjunto más grande: $$B=I\cap\bigcup_{k=0}^\infty B_k=I\cap\bigcup_{k=0}^\infty \bigcap_{n=k}^\infty F_n.$$ Creo que basta con demostrar que $B^o\neq\emptyset$ tal vez usando el Teorema de Baire demostrando que $B$ es un conjunto no escaso.

Problema más general https://mathoverflow.net/questions/34059/

Dejemos que $f$ sea una función infinitamente diferenciable sobre $[0,1]$ y supongamos que para cada $x \in [0,1]$ hay un número entero $n \in \mathbb{N}$ tal que $f^{(n)}(x)=0$ . Entonces $f$ coinciden en $[0,1]$ con algún polinomio? Si es así, ¿cómo?

Pensé en utilizar el teorema de aproximación de Weierstrass, pero no lo conseguí.

Respuesta:

La prueba es por contradicción. Supongamos que $f$ no es un polinomio.

Consideremos los siguientes conjuntos cerrados: $$ S_n = \{x: f^{(n)}(x) = 0\} $$ y $$ X = \{x: \forall (a,b)\ni x: f\restriction_{(a,b)}\text{ is not a polynomial} \}. $$

Está claro que $X$ es un conjunto cerrado no vacío sin puntos aislados. Aplicando el teorema de la categoría de Baire a la cobertura $\{X\cap S_n\}$ de $X$ obtenemos que existe un intervalo $(a,b)$ tal que $(a,b)\cap X$ no está vacío y $$ (a,b)\cap X\subset S_n $$ para algunos $n$ . Ya que cada $x\in (a,b)\cap X$ es un punto de acumulación también tenemos que $x\in S_m$ para todos $m\ge n$ y $x\in (a,b)\cap X$ .

Consideremos ahora un intervalo máximo cualquiera $(c,e)\subset ((a,b)-X)$ . Recordemos que $f$ es un polinomio de algún grado $d$ en $(c,e)$ . Por lo tanto, $f^{(d)}=\mathrm{const}\neq 0$ en $[c,e]$ . Por lo tanto, $d< n$ . (Ya que cualquiera de los dos $c$ o $e$ está en $X$ .)

Así que conseguimos que $f^{(n)}=0$ en $(a,b)$ que está en contradicción con $(a,b)\cap X$ siendo no vacía.

Answer 1

Tu solución para la 1. está perfectamente bien, la de la 2. no parece llevar demasiado lejos y parece demasiado complicada. Tienes razón, el teorema de Baire es la idea principal:

Usted sabe que $I = \bigcup_{n=0}^\infty I \cap F_n$ . Desde $f^{(n)}$ es continua, $F_n$ está cerrado, por lo que $I$ es una unión contable de conjuntos cerrados. Por el teorema de Baire debe haber $N$ tal que $F_N$ tiene un interior no vacío, ya que en caso contrario $I$ sería escaso.

Dejemos que $J$ sea un intervalo abierto no trivial contenido en $F_N$ . Por definición $f^{(N)}(x) = 0$ para todos $x \in J \subset F_N$ . En un intervalo una función con la propiedad de que el $N$ th que desaparece la derivada debe ser un polinomio de grado como máximo $N-1$ Así que $f$ es un polinomio en $J$ .

Observe que $f^{(N)} \equiv 0$ en $J$ implica que $f^{(n)} \equiv 0$ en $J$ para todos $n \geq N$ porque $J$ está abierto, por lo que no es necesario considerar sus conjuntos $B_k$ .

De hecho, con algunos trabajos más F. Sunyer i Balaguer y E. Corominas demostraron que $f$ debe ser un polinomio en todo $I$ , ver esta pregunta en mathoverflow para obtener esquemas y referencias.