Determinante de la suma de algunos especiales de la matriz

Question

$A,B$ $3\times 3$ matrices. Se sabe que:

1. $\det(A)=0$
2. $\forall i,j: b_{ij}=1$ donde $b_{ij}$ es un elemento de la matriz $B$
3. $\det(A+B)=1$

Encontrar $\det(A+2014B)$

No sé qué hacer. Encontré ejemplo en las pequeñas dimensiones de la matriz $A = \begin{bmatrix} 6&3\\4&2\end{bmatrix}$, pero eso es todo.

Por favor, dame una pista.

Answer 1

Deje $C$ ser cualquier matriz invertible y $\lambda$ reales (o complejos). Podemos reescribir nuestra $B$ como una exterior el producto de matrices:

$$B = u \otimes u^T$$ donde $u = (1,1,\ldots,1)^T$ $n \times 1$ columna de la matriz con todas las entradas $1$. Tenemos:

$$\det(C + \lambda u \otimes u^T) = \det(C(I_n + \lambda C^{-1}u\otimes u^T)) = \det(C)\det(I_n + \lambda C^{-1}u \otimes u^T)$$ Debido a la forma especial de la última expresión es igual a $$\det(C) (1 + \text{tr}(\lambda C^{-1}u \otimes u^T)) = \det(C) (1 + \lambda u^T C^{-1}u)$$

Recordar al $C$ es invertible, $\det(C) C^{-1} = \text{adj}(C)$ donde $\text{adj}(C)$ es la matriz adjunta de a $C$. Esto implica

$$\det(C + \lambda u\otimes u^T) = \det(C) + \lambda u^T\cdot (\text{adj}(C) u)\tag{*1}$$

Aviso las entradas de $\text{adj}(C)$ son polinomios en las entradas de $C$. Desde $(*1)$ es válido para invertible $C$ y el conjunto de invertir matrices son densos en el conjunto de los reales (o complejos) de matrices. $(*1)$ es válido incluso cuando $C$ no es invertible!

Aplicar esto a nuestra matriz $A$ y establezca $\lambda$$2014$, obtenemos

$$\begin{align} \det(A+2014B) &= \det(A) + 2014u^T\cdot( \text{adj}(A) u)\\ &= -2013\det(A) + 2014(\det(A) + u^T\cdot( \text{adj}(A) u))\\ &= -2013\det(A) + 2014\det(A+B)\\ &= 2014 \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia. Podemos (por qué?) suponga que $A=(u,\ v,\ au+bv)$ para algunos vectores $u,v$ y algunos escalares $a,b$. Deje $w$ ser un vector arbitrario. Por la multilinealidad de la determinante de la función, uno puede mostrar que $$\det(u+w,\ v+w,\ au+bv+w) = (1-a-b)\det(u,v,w)$$ y, por tanto, el determinante es lineal en $w$.

Answer 3

El posible método de enfoque:

Podemos escribir que $B = xx^T$ donde $x = (1,1,1)^T$. A continuación, podemos utilizar la matriz de determinante lema del estado $$\det(A + 2014B) = \\ \det((a + B) + 2013 xx^T) =\\ (1 + 2013 \,x^T(a+B)^{-1}x) \det(a+B) =\\ 1 + 2013 \,x^T(a+B)^{-1}x$$ No estoy seguro de si podemos obtener la respuesta a partir de aquí (o de cómo hacerlo).