Negar una raíz cuadrada: $\sqrt{7 + \sqrt{14}}$

Question

Escribe:

$$\sqrt{7 + \sqrt{14}} = a + b\sqrt{c}$$

Forma. $$7 + \sqrt{14} = a^2 + 2ab\sqrt{c} + b^2c$$

$a^2 + b^2c = 7$ y $2ab = 1$ y $c = 14$

Pero eso no parece correcto ya que $a, b,$ no serán enteros?

Answer 1

Set $r=\sqrt{7+\sqrt{14}}$ Entonces $r^2=7+\sqrt{14}$ y así $$ 14=r^4-14r^2+49 $$ o $$ r^4-14r^2+35=0 $$ El polinomio $X^4-14X^2+35=0$ es irreducible sobre los números racionales por el criterio de Eisenstein (con $7$ ), por lo que el grado de $r$ sobre los racionales es $4$ . Un número de la forma $a+b\sqrt{c}$ con racionalidad $a,b,c$ tiene grado $2$ sobre los racionales.

Por lo tanto, no se puede encontrar racional $a,b,c$ que satisfagan su solicitud.

Answer 2

Una forma sencilla de ver si un doble radical $\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$ puede ser denegado es comprobar si $a^2-b$ es un cuadrado perfecto. En este caso tenemos: $$ \sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}} $$ (puede verificar fácilmente esta identidad).

En este caso $a^2-b=35$ no es un cuadrado perfecto.

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Tenga en cuenta que si $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ se puede negar que $a^2-b$ debe ser positivo ya que, por: $$ \sqrt{a+\sqrt{b}})= \sqrt{p}+\sqrt{q} $$ tenemos (elevando al cuadrado) $$ a+\sqrt{b}=p+q+2\sqrt{pq} $$ y para $a,b,q,p \in \mathbb{Q}$ esto implica: $$ p+q=a \qquad \land \qquad \sqrt{b}=2\sqrt{pq} \iff pq=b/4 $$ esto significa que $p$ y $q$ son soluciones de la ecuación $ x^2-ax+b/4=0$ que tiene soluciones racionales sólo si $\Delta=a^2-b>0$