El título es un poco irónico, ya que tengo una pregunta muy particular, pero no sé cómo resumirla en un título ingenioso. Si tienes sugerencias, házmelo saber.
Supongamos que tengo un grupoide de Lie $G \rightrightarrows G_0$, por lo que me refiero a los siguientes datos:
- dos variedades (todo es suave) de dimensión finita $G, G_0$,
- dos submersiones sobreyectivas $l,r: G \to G_0$,
- una inclusión $e: G_0 \hookrightarrow G$ que es una sección tanto de los mapas $l,r$,
- una ley de composición $m: G \times_{G_0} G \to G$, donde el producto fibrado es la pull back de $G \overset{r}\to G_0 \overset{l}\leftarrow G$, entrelazando las proyecciones $l,r$ a $G_0$.
- De modo que $m$ es asociativo, lo que significa que los dos mapas obvios $G \times_{G_0} G \times_{G_0} G \to G$ coinciden,
- $m(e(l(g)),g) = g = m(g,e(r(g)))$ para todo $g\in G$,
- y hay un mapa $i: G \to G$, con $i\circ l = r$ y $i\circ i = \text{id}$ y $m(i(g),g) = e(r(g)) y $m(g$,i$)(g) = e(l(g))$.
Entonces tiene sentido hablar sobre funtores suaves de grupoide de Lie, transformaciones naturales suaves de funtores, etc. En particular, podemos hablar sobre si dos grupoides de Lie son "equivalentes", y creo que una noción preliminar para "pila suave" es "grupoide de Lie hasta la equivalencia". De hecho, creo que los expertos prefieren algunas generalizaciones de esto ymdash; (ciertas) bibundles en lugar de funtores, por ejemplo. Pero me desvío.
Además de que sabemos qué son las equivalencias de grupoide de Lie, me gustaría señalar que también podemos trabajar en vecindarios pequeños. De hecho, si $U_0$ es un vecindario abierto en $G_0$, entonces creo que puedo dejar que $U = l^{-1}(U_0) \cap r^{-1}(U_0)$, y entonces $U \rightrightarrows U_0$ es otro grupoide de Lie.
Oh, también quiero recordar la noción de álgebroides de Lie tangentes $A \to G\_0$ a un grupoide de Lie. La definición que escribiré no parece muy simétrica en $l\leftrightarrow r$, pero el objeto final sí lo es. Las fibras del haz vectorial $A \to G_0$ son $A\_y = {\rm T}\_{e(y)}(r^{-1}(y))$, el espacio tangente a lo largo de $e(G\_0)$ a las fibras de $r$, y $l: r^{-1}(y) \to G_0$ determina un mapa de áncora dado por Dios $\alpha = dl: A \to {\rm T}G\_0$, y como $e$ es una sección de $l,r$, este mapa entrelaza las proyecciones, y por lo tanto es un mapa de haz vectorial. De hecho, la composición $m$ determina un corchete de Lie en secciones de $A$ y $\alpha$ es un homomorfismo de álgebra de Lie a campos vectoriales en $G_0$.
Supongamos que tengo una función suave $f: G_0 \to \mathbb R$ que es constante en órbitas de $G$ en $G_0$, es decir, $f(l(g)) = f(r(g))$ para todo $g\in G$. Me gustaría pensar en $f$ como una función de Morse en "la pila $G_0 // G$". Entonces, supongamos que $[y] \subseteq G_0$ es una órbita crítica, lo que significa: es una órbita de la acción de $G$ en $G_0$, y cada $y \in [y]$ es un punto crítico de $f$. (Dado que $f$ es invariante bajo $G$, los puntos críticos necesariamente vienen en órbitas.) Si $y$ es un punto crítico de $f$, entonces tiene sentido hablar del Hessiano, que es un emparejamiento simétrico $({\rm T}\_yG\_0)^{\otimes 2} \to \mathbb R$, pero lo pensaré como un mapa $f^{(2)}\_y : {\rm T}\_yG\_0 \to ({\rm T}\_yG\_0)^\*$. En general, este mapa no será inyectivo, sino que el núcleo incluirá $\alpha\_y(A\_y) \subseteq {\rm T}\_yG\_0$. Digo que la órbita crítica $[y]$ es no degenerada si $\ker f^{(2)}_y = \alpha\_y(A\_y)$, es decir, si el Hessiano es no degenerado como un emparejamiento en ${\rm T}\_yG\_0 / \alpha\_y(A\_y)$. Estoy bastante seguro de que esta es una condición de la órbita, no del punto individual.
La no degeneración descarta algunos comportamientos singulares de $[y]$, como la línea irracional en el toro.
En fin, mi pregunta es la siguiente:
Supongamos que tengo un grupoide de Lie $G \rightrightarrows G_0$ y una función suave $f$ invariante bajo $G: G_0 \to \mathbb R$ y una órbita crítica no degenerada $[y]$ de $f$. ¿Puedo encontrar un vecindario invariante bajo $G$ $U_0 \supseteq [y]$ de modo que el grupoide de Lie correspondiente $U \rightrightarrows U_0$ sea equivalente a un grupoide $V \rightrightarrows V_0$ en el cual $[y]$ corresponda a un único punto $\bar y \in V_0$? Es decir, llevar la función $f$ a $V_0$ a lo largo de la equivalencia; entonces, ¿puedo transformar $[y]$ en un punto crítico honestamente no degenerado $\bar y \in V_0$?
Estoy asumiendo, en la segunda formulación de la pregunta, que $f$ se lleva/push a lo largo de la equivalencia a una función invariante bajo $V$ $\bar f$ en $V_0$. También estoy asumiendo, así que si me equivoco espero ser corregido, que ${\rm T}\_{\bar y}V\_0 \cong {\rm T}\_yG\_0 / \alpha\_y(A\_y)$ de manera canónica, para que por ejemplo $\bar f^{(2)}_{\bar y} = f^{(2)}_y$.
