Subconjunto de $\ell^2$ es precompact

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de $a_i$ con algunas restricciones. Qué restricciones debe ser establecido

$$A= \left\{(x_i) \in \ell_2 \mid \sum\limits_{i\geqslant1} |a_i x_i|^2 \leqslant 1 \right\} $$ precompact en $\ell_2$? Me han pasado un montón de tiempo en la resolución de esa tarea, pero todavía tengo ni idea de las limitaciones que tengo que elegir

Answer 1

• Suponga que $(|a_i|)_{i\geqslant 1}$ no divergen a $+\infty$. Entonces existe $M\gt 0$ $I\subset \mathbb N^*$ infinito tal que $|a_i|\leqslant M$ por cada $i\in I$. Considere la posibilidad de $e^{(i)}\in \ell_2$ el elemento cuya $i$th plazo es $1$ y todos los demás se $0$. A continuación, para cada $i\in I$, $e^{(i)}/M$ pertenece a $A$$\lVert e^{(i)}-e^{\left(i'\right)}\rVert_2=\sqrt 2$, por lo tanto $A$ no puede ser precompact.
• Suponga que $a_{i_k}\to 0$ para un aumento de la secuencia de enteros $(i_k)_{k\geqslant 1}$$a_{i_k}\neq 0$. A continuación, para cada $k$, $u_k=a_{i_k}^{-1}e^{(i_k)}$ pertenece a $A$ pero $\lVert u_k\rVert=\left|a_{i_k}^{-1}\right|$, de ahí la secuencia $(u_k)_{k\geqslant 1}$ no puede estar acotada.
• Como señaló Peter Franek, el conjunto $A$ no está obligado si $a_i=0$ algunos $i$.

En conclusión, las condiciones necesarias son las siguientes: $|a_i|\to +\infty$$\inf_{i\geqslant 1}|a_i|\gt 0$.

Suponga que $(|a_i|)_{i\geqslant 1}$ diverge a $+\infty$ y $c:=\inf_{i\geqslant 1}|a_i|\gt 0$. Mostrar que $A$ es limitado y que $$\tag{*}\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in A}\sum_{i\geqslant n}|x_i|^2=0.$$ Para ver esto, utilice el límite de $$\sum_{i\geqslant 1}x_i^2\leqslant \sum_{i\geqslant 1}a_i^2x_i^2/c^2\leqslant 1/c^2.$$ Para (*), fix $M>0$ y tome $n_0$ tal que $|a_i|\gt M$ siempre $i\geqslant n_0$. Para cada una de las $x\in A$, e $n\geqslant n_0$, $$\sum_{i\geqslant n}|x_i|^2 \leqslant \frac 1{M^2}\sum_{i\geqslant n}|Mx_i|^2\leqslant \frac 1{M^2}\sum_{i\geqslant n}|a_ix_i|^2\leqslant \frac 1{M^2}.$$

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero me gustaría empezar como esta..

Si $a_i=0$ algunos $i$, $A$ es claramente acotada, como la $i$th de coordenadas de los elementos de la $A$ puede ser cualquier cosa. Por eso, $a_i\neq 0$ todos los $i$ es una de tales condiciones.

Suponga que $a_i$ está acotada. A continuación, para todos $i$, $a_i<B$ para algunos $B>0$ $A$ contiene todos los $x\in\ell^2$ tal que $\sum_i |Bx|^2\leq 1$. En otras palabras, contiene todos los elementos $x$ tal que $\sum_i |x|^2\leq 1/B^2$, que es una bola en $\ell^2$ y por lo tanto no es compacto. Se puede deducir con facilidad que, a continuación, $A$ no puede ser precompact (demostrando que no es totalmente acotado). Así que otra restricción es que el $a_i$ debe ser ilimitado.

Ligeramente extender el último párrafo, se puede mostrar fácilmente que $\lim a_i=\infty$. De lo contrario, usted podría encontrar una constante $B$ para los que hay infinitamente muchos índices $i_1,i_2,\ldots $ tal que $a_{i_j}<B$ y, a continuación, $A$ contiene una copia de una $\ell^2$-ball en los índices, que a su vez es noncompact.

(Edit: en un principio pensé que estas condiciones no son suficientes, pero como Davide Giraudo mostró, al parecer son suficiente).

Answer 3

También podemos utilizar el elemental hecho sobre compact operadores para el más duro dirección: Suponga $|a_n|\to \infty$ e no $a_n=0.$ podemos escribir $A=T(B),$ donde $B$ es la bola unidad cerrada en $l^2$ $T$ es la delimitada operador lineal en $l^2$$T((x_n)) = (x_n/a_n).$, con Lo que basta para mostrar $T$ es un operador compacto. Pero esto es fácil: Definir $T_m(x)= P_m\circ T,$ donde $P_m$ es la proyección en el primer $m$ coordenadas. Entonces

$$\|T_m -T\| \le \sup_{n > m} 1/|a_n| \to 0.$$

Por lo tanto $T$ está fuertemente approximable por el rango finito operadores de $T_m,$, lo que implica $T$ es un operador compacto como se desee.