Evaluar la integral de una 2 forma sobre un toroide

Question

Este es un problema de un examen de calificación pasado que parece un poco demasiado intensivo de cálculo, así que esperaba que alguien pudiera ver una mejor manera de abordar esto.

Se nos da la 2 forma $$\omega = \frac{xdy\wedge dz + y dz\wedge dx + z dx\wedge dy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}},$$ y se le pide que verifique que es una 2 forma cerrada en $\mathbb{R}-\{0\}.$ Esto es sencillo. Entonces se nos pide que evaluemos la integral $\int_T \omega$ donde $T\subset \mathbb{R}^3-\{0\}$ es el toroide $$\left(\sqrt{(x-2)^2 + y^2}-2\right)^2 + z^2 = 1$$ que se obtiene al girar el círculo unitario en el $xz$ -plano sobre la línea $x=2,$ $y=0$ .

Para ello, encontré las ecuaciones paramétricas del toro, a saber $$F(u,v) = (2 + (2+\cos v)\cos u, (2+\cos v)\sin u, \sin v),$$ y calculando $\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} F^*\omega.$ Esto requiere mucho tiempo y hay mucho espacio para el error de cálculo, así que pensé que podría haber una manera diferente de abordar esto.

Answer 1

Para completar, he aquí el cálculo de la integral sobre la esfera unitaria $S^2$ (que da el mismo resultado que la integración sobre el toro, debido a que la forma es cerrada en $\mathbb R^3\setminus \{0\}$ ).

Dejemos que $\zeta=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy$ . Entonces $$ \int_{S^2} \omega = \int_{S^2} \zeta = \int_{B^3} d\zeta = \int_{B^3} 3\,dx\wedge dy\wedge dz = 3\mathrm{vol}\,(B^3)=4\pi $$ donde el segundo paso es Stokes y $B^3$ es la bola unitaria.