Los dos últimos dígitos de $2^5+2^{5^2} +\dots +2^{5^{2015}}$

Question

Vamos $$N=2^5+2^{5^2} +\dots +2^{5^{2015}}.$$ Find the last two digits of $$N.

Basta con encontrar $N \mod 100$. Y he observado que $2^{20+n}=2^n\pmod{100}$$n \ge 2$. Así es la respuesta $(2015)(32) \mod 100 =80$?

Answer 1

Observe que

$$ 32^5=2^{25} \equiv 2^{10}\cdot 2^{10} \cdot 2^5 \equiv 24^2 \cdot 32 \equiv 32 \mod 100 $$

(Creo que lo que escribiste no tiene sentido, como se indicó)

y de ello se sigue que

$$ 2^{5^k} \equiv 32 \mod 100 $$

para todos los $k\ge 1$

Así que, de hecho,

$$ 2^{5}+2^{5^2}+\cdots+2^{5^{2015}} \equiv 32 \cdot 2015 \equiv 64480 \equiv 80 \mod 100 $$

Answer 2

Si $X \equiv \sum_{k=1}^{2015} 2^{\left(5^k\right)} \pmod {100}$, entonces se puede calcular:

$$X_4 \equiv \sum_{k=1}^{2015} 2^{\left(5^k\right)} \pmod 4$$ $$X_{25} \equiv \sum_{k=1}^{2015} 2^{\left(5^k\right)} \pmod {25}$$

$X_4 \equiv 0$ en cada término. $2^{20} \equiv 1 \pmod {25}$, esto parece que han observado. Así

$$X_{25} \equiv \sum_{k=1}^{2015} 2^{\left(5^k \text{ mod } 20\right)} \pmod {25}$$

$5^k \equiv 5 \pmod 20$ $k \ge 1$ , por lo que

$$X_{25} \equiv \sum_{k=1}^{2015} 2^5 \equiv 2015\cdot 32 \equiv 5\pmod {25}$$

Y $$\begin{cases} X \equiv 5 \pmod {25} \\ X\equiv 0 \pmod 4 \end{cases}$$ only has 1 solution $\pmod {100}$.