Una pregunta sobre la orientación y real de las curvas planas

Question

Deje $C$ ser una suave curva proyectiva en $\mathbb{R}P^2$ dada por una ecuación polinómica $F(x,y,z)=0$ incluso de grado (por lo $C$ se compone de circuitos cerrados). A continuación, $C$ divide $\mathbb{R}P^2$ en 2 partes, de las cuales sólo una es orientable. Dado un punto de $P\in\mathbb{R}P^2$, hay una manera de (en términos de $F$, por ejemplo) para determinar a que parte $P$ pertenece?

Answer 1

Si $f$ es de grado $ d=2k$ y con un coeficiente real, el signo de $f$ está bien definido. De hecho, si $f(x,y,z) = a$, $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda^{2k}a$ que tiene el mismo signo de $a$. De modo que el no-orientable región tendrá una buena definición de signo, y la orientable región tienen el signo opuesto. Por supuesto, usted tiene que arreglar $f$, y no sólo la curva de $f = 0$ $-f = 0$ definir la misma curva. Creo que la convención habitual es que el no-orientable parte tiene signo negativo.

Si usted está estudiando el tema me gustaría consejo sobre las notas de O. Viro que contiene gran cantidad de información útil acerca de la topología real de las curvas algebraicas.

Edit : me permito añadir un comentario. Usted dijo que $C$ es de aún grado tan consta de un bucle cerrado. Si $C$ es suave y de grado impar, también es topológicamente una unión de bucle cerrado (me.e topológico círculos). La única diferencia es que los óvalos de $C$ siempre vinculado a un disco si el grado es par, y si el grado es impar entonces exactamente un óvalo no vinculado a un disco.

Answer 2

Deje $\pi:S^2\to\mathbb{R}P^2$ el valor del cociente, y deje $U\subset\mathbb{R}P^2$ ser un subconjunto abierto. A continuación, $\pi^{-1}(U)$ es la orientación de la cubierta doble de $U$. Por lo tanto, como siempre, $U$ es orientable si y sólo si $\pi^{-1}(U)$ está desconectado.